Trigonometrie Beispiele

$f (x) = 3 \cos (2 x)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 3 \cos (2 x)$ als Gleichung.

$y = 3 \cos (2 x)$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 3 \cos (2 y)$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $3 \cos (2 y) = x$ um.

$3 \cos (2 y) = x$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $3 \cos (2 y) = x$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 \cos (2 y) = x$ durch $3$ .

$\frac{3 \cos (2 y)}{3} = \frac{x}{3}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cos (2 y)}{3} = \frac{x}{3}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $\cos (2 y)$ durch $1$ .

$\cos (2 y) = \frac{x}{3}$

Schritt 3.3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$2 y = \arccos (\frac{x}{3})$

Schritt 3.4

Teile jeden Ausdruck in $2 y = \arccos (\frac{x}{3})$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = \arccos (\frac{x}{3})$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2}$

Schritt 3.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 3 \cos (2 x)$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (3 \cos (2 x))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 \cos (2 x)) = \frac{\arccos (\frac{3 \cos (2 x)}{3})}{2}$

Schritt 5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (3 \cos (2 x)) = \frac{\arccos (\frac{3 \cos (2 x)}{3})}{2}$

Schritt 5.2.3.2

Dividiere $\cos (2 x)$ durch $1$ .

$f^{- 1} (3 \cos (2 x)) = \frac{\arccos (\cos (2 x))}{2}$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2}) = 3 \cos (2 (\frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2}))$

Schritt 5.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2}) = 3 \cos (2 (\frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2}))$

Schritt 5.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2}) = 3 \cos (\arccos (\frac{x}{3}))$

Schritt 5.3.4

Die Funktionen Kosinus und Arkuskosinus sind Inverse.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2}) = 3 (\frac{x}{3})$

Schritt 5.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2}) = 3 (\frac{x}{3})$

Schritt 5.3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 3 \cos (2 x)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2}$