Trigonometrie Beispiele

$f (x) = 3 + \cos (\frac{x}{4})$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 3 + \cos (\frac{x}{4})$ als Gleichung.

$y = 3 + \cos (\frac{x}{4})$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 3 + \cos (\frac{y}{4})$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $3 + \cos (\frac{y}{4}) = x$ um.

$3 + \cos (\frac{y}{4}) = x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (\frac{y}{4}) = x - 3$

Schritt 3.3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$\frac{y}{4} = \arccos (x - 3)$

Schritt 3.4

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $4$ .

$4 \frac{y}{4} = 4 \arccos (x - 3)$

Schritt 3.5

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{y}{4} = 4 \arccos (x - 3)$

Schritt 3.5.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 4 \arccos (x - 3)$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = 4 \arccos (x - 3)$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 4 \arccos (x - 3)$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 3 + \cos (\frac{x}{4})$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (3 + \cos (\frac{x}{4}))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 + \cos (\frac{x}{4})) = 4 \arccos ((3 + \cos (\frac{x}{4})) - 3)$

Schritt 5.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $(3 + \cos (\frac{x}{4})) - 3$ .

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Schritt 5.2.3.1

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$f^{- 1} (3 + \cos (\frac{x}{4})) = 4 \arccos (0 + \cos (\frac{x}{4}))$

Schritt 5.2.3.2

Addiere $0$ und $\cos (\frac{x}{4})$ .

$f^{- 1} (3 + \cos (\frac{x}{4})) = 4 \arccos (\cos (\frac{x}{4}))$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (4 \arccos (x - 3))$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (4 \arccos (x - 3)) = 3 + \cos (\frac{4 \arccos (x - 3)}{4})$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (4 \arccos (x - 3)) = 3 + \cos (\frac{4 \arccos (x - 3)}{4})$

Schritt 5.3.3.1.2

Dividiere $\arccos (x - 3)$ durch $1$ .

$f (4 \arccos (x - 3)) = 3 + \cos (\arccos (x - 3))$

Schritt 5.3.3.2

Die Funktionen Kosinus und Arkuskosinus sind Inverse.

$f (4 \arccos (x - 3)) = 3 + x - 3$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3 + x - 3$ .

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Schritt 5.3.4.1

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$f (4 \arccos (x - 3)) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (4 \arccos (x - 3)) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = 4 \arccos (x - 3)$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 3 + \cos (\frac{x}{4})$ .

$f^{- 1} (x) = 4 \arccos (x - 3)$