Trigonometrie Beispiele

$f (x) = 2 \sin (- x + 1)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 2 \sin (- x + 1)$ als Gleichung.

$y = 2 \sin (- x + 1)$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 2 \sin (- y + 1)$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $2 \sin (- y + 1) = x$ um.

$2 \sin (- y + 1) = x$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (- y + 1) = x$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (- y + 1) = x$ durch $2$ .

$\frac{2 \sin (- y + 1)}{2} = \frac{x}{2}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sin (- y + 1)}{2} = \frac{x}{2}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $\sin (- y + 1)$ durch $1$ .

$\sin (- y + 1) = \frac{x}{2}$

Schritt 3.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$- y + 1 = \arcsin (\frac{x}{2})$

Schritt 3.4

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y = \arcsin (\frac{x}{2}) - 1$

Schritt 3.5

Teile jeden Ausdruck in $- y = \arcsin (\frac{x}{2}) - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Teile jeden Ausdruck in $- y = \arcsin (\frac{x}{2}) - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y}{1} = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.5.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \arcsin (\frac{x}{2}) + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.5.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot \arcsin (\frac{x}{2})$ als $- \arcsin (\frac{x}{2})$ um.

$y = - \arcsin (\frac{x}{2}) + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.5.3.1.3

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$y = - \arcsin (\frac{x}{2}) + 1$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = - \arcsin (\frac{x}{2}) + 1$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - \arcsin (\frac{x}{2}) + 1$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 2 \sin (- x + 1)$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (2 \sin (- x + 1))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 \sin (- x + 1)) = - \arcsin (\frac{2 \sin (- x + 1)}{2}) + 1$

Schritt 5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (2 \sin (- x + 1)) = - \arcsin (\frac{2 \sin (- x + 1)}{2}) + 1$

Schritt 5.2.3.2

Dividiere $\sin (- x + 1)$ durch $1$ .

$f^{- 1} (2 \sin (- x + 1)) = - \arcsin (\sin (- x + 1)) + 1$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (- \arcsin (\frac{x}{2}) + 1)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \arcsin (\frac{x}{2}) + 1) = 2 \sin (- (- \arcsin (\frac{x}{2}) + 1) + 1)$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \arcsin (\frac{x}{2}) + 1) = 2 \sin (\arcsin (\frac{x}{2}) - 1 \cdot 1 + 1)$

Schritt 5.3.3.2

Multipliziere $- - \arcsin (\frac{x}{2})$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- \arcsin (\frac{x}{2}) + 1) = 2 \sin (1 \arcsin (\frac{x}{2}) - 1 \cdot 1 + 1)$

Schritt 5.3.3.2.2

Mutltipliziere $\arcsin (\frac{x}{2})$ mit $1$ .

$f (- \arcsin (\frac{x}{2}) + 1) = 2 \sin (\arcsin (\frac{x}{2}) - 1 \cdot 1 + 1)$

Schritt 5.3.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (- \arcsin (\frac{x}{2}) + 1) = 2 \sin (\arcsin (\frac{x}{2}) - 1 + 1)$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\arcsin (\frac{x}{2}) - 1 + 1$ .

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Schritt 5.3.4.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f (- \arcsin (\frac{x}{2}) + 1) = 2 \sin (\arcsin (\frac{x}{2}) + 0)$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $\arcsin (\frac{x}{2})$ und $0$ .

$f (- \arcsin (\frac{x}{2}) + 1) = 2 \sin (\arcsin (\frac{x}{2}))$

Schritt 5.3.5

Die Funktionen Sinus und Arkussinus sind Inverse.

$f (- \arcsin (\frac{x}{2}) + 1) = 2 (\frac{x}{2})$

Schritt 5.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \arcsin (\frac{x}{2}) + 1) = 2 (\frac{x}{2})$

Schritt 5.3.6.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- \arcsin (\frac{x}{2}) + 1) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - \arcsin (\frac{x}{2}) + 1$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 2 \sin (- x + 1)$ .

$f^{- 1} (x) = - \arcsin (\frac{x}{2}) + 1$