Trigonometrie Beispiele

$f (x) = 10 - 6 x^{3}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 10 - 6 x^{3}$ als Gleichung.

$y = 10 - 6 x^{3}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 10 - 6 y^{3}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $10 - 6 y^{3} = x$ um.

$10 - 6 y^{3} = x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 6 y^{3} = x - 10$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $- 6 y^{3} = x - 10$ durch $- 6$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 6 y^{3} = x - 10$ durch $- 6$ .

$\frac{- 6 y^{3}}{- 6} = \frac{x}{- 6} + \frac{- 10}{- 6}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 6$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 6 y^{3}}{- 6} = \frac{x}{- 6} + \frac{- 10}{- 6}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $y^{3}$ durch $1$ .

$y^{3} = \frac{x}{- 6} + \frac{- 10}{- 6}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{3} = - \frac{x}{6} + \frac{- 10}{- 6}$

Schritt 3.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 10$ und $- 6$ .

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Schritt 3.3.3.1.2.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 10$ heraus.

$y^{3} = - \frac{x}{6} + \frac{- 2 (5)}{- 6}$

Schritt 3.3.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.3.1.2.2.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 6$ heraus.

$y^{3} = - \frac{x}{6} + \frac{- 2 \cdot 5}{- 2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{3} = - \frac{x}{6} + \frac{- 2 \cdot 5}{- 2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y^{3} = - \frac{x}{6} + \frac{5}{3}$

Schritt 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{- \frac{x}{6} + \frac{5}{3}}$

Schritt 3.5

Vereinfache $\sqrt[3]{- \frac{x}{6} + \frac{5}{3}}$ .

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Schritt 3.5.1

Um $\frac{5}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{- \frac{x}{6} + \frac{5}{3} \cdot \frac{2}{2}}$

Schritt 3.5.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.5.2.1

Mutltipliziere $\frac{5}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{- \frac{x}{6} + \frac{5 \cdot 2}{3 \cdot 2}}$

Schritt 3.5.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$y = \sqrt[3]{- \frac{x}{6} + \frac{5 \cdot 2}{6}}$

Schritt 3.5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \sqrt[3]{\frac{- x + 5 \cdot 2}{6}}$

Schritt 3.5.4

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{- x + 10}{6}}$

Schritt 3.5.5

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{- x + 10}{6}}$ als $\frac{\sqrt[3]{- x + 10}}{\sqrt[3]{6}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 10}}{\sqrt[3]{6}}$

Schritt 3.5.6

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{- x + 10}}{\sqrt[3]{6}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 10}}{\sqrt[3]{6}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{2}}$

Schritt 3.5.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.5.7.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{- x + 10}}{\sqrt[3]{6}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 10} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{\sqrt[3]{6} {\sqrt[3]{6}}^{2}}$

Schritt 3.5.7.2

Potenziere $\sqrt[3]{6}$ mit $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 10} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{1} {\sqrt[3]{6}}^{2}}$

Schritt 3.5.7.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 10} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{1 + 2}}$

Schritt 3.5.7.4

Addiere $1$ und $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 10} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{3}}$

Schritt 3.5.7.5

Schreibe ${\sqrt[3]{6}}^{3}$ als $6$ um.

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Schritt 3.5.7.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{6}$ als $6^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 10} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{(6^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 3.5.7.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 10} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 3.5.7.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 10} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.5.7.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.5.7.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 10} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.5.7.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 10} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{1}}$

Schritt 3.5.7.5.5

Berechne den Exponenten.

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 10} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6}$

Schritt 3.5.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.8.1

Schreibe ${\sqrt[3]{6}}^{2}$ als $\sqrt[3]{6^{2}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 10} \sqrt[3]{6^{2}}}{6}$

Schritt 3.5.8.2

Potenziere $6$ mit $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 10} \sqrt[3]{36}}{6}$

Schritt 3.5.9

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 3.5.9.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \frac{\sqrt[3]{(- x + 10) \cdot 36}}{6}$

Schritt 3.5.9.2

Stelle die Faktoren in $\frac{\sqrt[3]{(- x + 10) \cdot 36}}{6}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}{6}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}{6}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}{6}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 10 - 6 x^{3}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (10 - 6 x^{3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (10 - 6 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{36 (- (10 - 6 x^{3}) + 10)}}{6}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (10 - 6 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{36 (- 1 \cdot 10 - (- 6 x^{3}) + 10)}}{6}$

Schritt 5.2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $10$ .

$f^{- 1} (10 - 6 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{36 (- 10 - (- 6 x^{3}) + 10)}}{6}$

Schritt 5.2.3.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (10 - 6 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{36 (- 10 + 6 x^{3} + 10)}}{6}$

Schritt 5.2.3.4

Addiere $- 10$ und $10$ .

$f^{- 1} (10 - 6 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{36 (6 x^{3} + 0)}}{6}$

Schritt 5.2.3.5

Addiere $6 x^{3}$ und $0$ .

$f^{- 1} (10 - 6 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{36 \cdot (6 x^{3})}}{6}$

Schritt 5.2.3.6

Mutltipliziere $36$ mit $6$ .

$f^{- 1} (10 - 6 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{216 x^{3}}}{6}$

Schritt 5.2.3.7

Schreibe $216 x^{3}$ als ${(6 x)}^{3}$ um.

$f^{- 1} (10 - 6 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{{(6 x)}^{3}}}{6}$

Schritt 5.2.3.8

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} (10 - 6 x^{3}) = \frac{6 x}{6}$

Schritt 5.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 5.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (10 - 6 x^{3}) = \frac{6 x}{6}$

Schritt 5.2.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (10 - 6 x^{3}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}{6})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}{6}) = 10 - 6 {(\frac{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}{6})}^{3}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}{6}$ an.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}{6}) = 10 - 6 \frac{{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}^{3}}{6^{3}}$

Schritt 5.3.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.2.1

Schreibe ${\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}^{3}$ als $36 (- x + 10)$ um.

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Schritt 5.3.3.2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{36 (- x + 10)}$ als ${(36 (- x + 10))}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}{6}) = 10 - 6 \frac{{({(36 (- x + 10))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{6^{3}}$

Schritt 5.3.3.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}{6}) = 10 - 6 \frac{{(36 (- x + 10))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{6^{3}}$

Schritt 5.3.3.2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}{6}) = 10 - 6 \frac{{(36 (- x + 10))}^{\frac{3}{3}}}{6^{3}}$

Schritt 5.3.3.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}{6}) = 10 - 6 \frac{{(36 (- x + 10))}^{\frac{3}{3}}}{6^{3}}$

Schritt 5.3.3.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}{6}) = 10 - 6 \frac{36 (- x + 10)}{6^{3}}$

Schritt 5.3.3.2.1.5

Vereinfache.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}{6}) = 10 - 6 \frac{36 (- x + 10)}{6^{3}}$

Schritt 5.3.3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}{6}) = 10 - 6 \frac{36 (- x) + 36 \cdot 10}{6^{3}}$

Schritt 5.3.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $36$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}{6}) = 10 - 6 \frac{- 36 x + 36 \cdot 10}{6^{3}}$

Schritt 5.3.3.2.4

Mutltipliziere $36$ mit $10$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}{6}) = 10 - 6 \frac{- 36 x + 360}{6^{3}}$

Schritt 5.3.3.2.5

Faktorisiere $36$ aus $- 36 x + 360$ heraus.

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Schritt 5.3.3.2.5.1

Faktorisiere $36$ aus $- 36 x$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}{6}) = 10 - 6 \frac{36 (- x) + 360}{6^{3}}$

Schritt 5.3.3.2.5.2

Faktorisiere $36$ aus $360$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}{6}) = 10 - 6 \frac{36 (- x) + 36 (10)}{6^{3}}$

Schritt 5.3.3.2.5.3

Faktorisiere $36$ aus $36 (- x) + 36 (10)$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}{6}) = 10 - 6 \frac{36 (- x + 10)}{6^{3}}$

Schritt 5.3.3.3

Potenziere $6$ mit $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}{6}) = 10 - 6 \frac{36 (- x + 10)}{216}$

Schritt 5.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 5.3.3.4.1

Faktorisiere $6$ aus $- 6$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}{6}) = 10 + 6 (- 1) (\frac{36 (- x + 10)}{216})$

Schritt 5.3.3.4.2

Faktorisiere $6$ aus $216$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}{6}) = 10 + 6 \cdot (- 1 \frac{36 (- x + 10)}{6 \cdot 36})$

Schritt 5.3.3.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}{6}) = 10 + 6 \cdot (- 1 \frac{36 (- x + 10)}{6 \cdot 36})$

Schritt 5.3.3.4.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}{6}) = 10 - 1 \frac{36 (- x + 10)}{36}$

Schritt 5.3.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $36$ .

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Schritt 5.3.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}{6}) = 10 - 1 \frac{36 (- x + 10)}{36}$

Schritt 5.3.3.5.2

Dividiere $- x + 10$ durch $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}{6}) = 10 - 1 (- x + 10)$

Schritt 5.3.3.6

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}{6}) = 10 - 1 (- x) - 1 \cdot 10$

Schritt 5.3.3.7

Multipliziere $- 1 (- x)$ .

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Schritt 5.3.3.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}{6}) = 10 + 1 x - 1 \cdot 10$

Schritt 5.3.3.7.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}{6}) = 10 + x - 1 \cdot 10$

Schritt 5.3.3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $10$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}{6}) = 10 + x - 10$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $10 + x - 10$ .

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Schritt 5.3.4.1

Subtrahiere $10$ von $10$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}{6}) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}{6}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}{6}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 10 - 6 x^{3}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}{6}$