Trigonometrie Beispiele

$f (x) = 100000 - 2500 x$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 100000 - 2500 x$ als Gleichung.

$y = 100000 - 2500 x$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 100000 - 2500 y$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $100000 - 2500 y = x$ um.

$100000 - 2500 y = x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $100000$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2500 y = x - 100000$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $- 2500 y = x - 100000$ durch $- 2500$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2500 y = x - 100000$ durch $- 2500$ .

$\frac{- 2500 y}{- 2500} = \frac{x}{- 2500} + \frac{- 100000}{- 2500}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2500$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2500 y}{- 2500} = \frac{x}{- 2500} + \frac{- 100000}{- 2500}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x}{- 2500} + \frac{- 100000}{- 2500}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{x}{2500} + \frac{- 100000}{- 2500}$

Schritt 3.3.3.1.2

Dividiere $- 100000$ durch $- 2500$ .

$y = - \frac{x}{2500} + 40$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = - \frac{x}{2500} + 40$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - \frac{x}{2500} + 40$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 100000 - 2500 x$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (100000 - 2500 x)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (100000 - 2500 x) = - \frac{100000 - 2500 x}{2500} + 40$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $100000 - 2500 x$ und $2500$ .

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Schritt 5.2.3.1.1

Faktorisiere $2500$ aus $100000$ heraus.

$f^{- 1} (100000 - 2500 x) = - \frac{2500 \cdot 40 - 2500 x}{2500} + 40$

Schritt 5.2.3.1.2

Faktorisiere $2500$ aus $- 2500 x$ heraus.

$f^{- 1} (100000 - 2500 x) = - \frac{2500 \cdot 40 + 2500 (- x)}{2500} + 40$

Schritt 5.2.3.1.3

Faktorisiere $2500$ aus $2500 (40) + 2500 (- x)$ heraus.

$f^{- 1} (100000 - 2500 x) = - \frac{2500 (40 - x)}{2500} + 40$

Schritt 5.2.3.1.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1.4.1

Faktorisiere $2500$ aus $2500$ heraus.

$f^{- 1} (100000 - 2500 x) = - \frac{2500 (40 - x)}{2500 (1)} + 40$

Schritt 5.2.3.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (100000 - 2500 x) = - \frac{2500 (40 - x)}{2500 \cdot 1} + 40$

Schritt 5.2.3.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (100000 - 2500 x) = - \frac{40 - x}{1} + 40$

Schritt 5.2.3.1.4.4

Dividiere $40 - x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (100000 - 2500 x) = - (40 - x) + 40$

Schritt 5.2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (100000 - 2500 x) = - 1 \cdot 40 + x + 40$

Schritt 5.2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $40$ .

$f^{- 1} (100000 - 2500 x) = - 40 + x + 40$

Schritt 5.2.3.4

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 5.2.3.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (100000 - 2500 x) = - 40 + 1 x + 40$

Schritt 5.2.3.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f^{- 1} (100000 - 2500 x) = - 40 + x + 40$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 40 + x + 40$ .

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Schritt 5.2.4.1

Addiere $- 40$ und $40$ .

$f^{- 1} (100000 - 2500 x) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (100000 - 2500 x) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (- \frac{x}{2500} + 40)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \frac{x}{2500} + 40) = 100000 - 2500 (- \frac{x}{2500} + 40)$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{x}{2500} + 40) = 100000 - 2500 (- \frac{x}{2500}) - 2500 \cdot 40$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2500$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x}{2500}$ in den Zähler.

$f (- \frac{x}{2500} + 40) = 100000 - 2500 \frac{- x}{2500} - 2500 \cdot 40$

Schritt 5.3.3.2.2

Faktorisiere $2500$ aus $- 2500$ heraus.

$f (- \frac{x}{2500} + 40) = 100000 + 2500 (- 1) (\frac{- x}{2500}) - 2500 \cdot 40$

Schritt 5.3.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{x}{2500} + 40) = 100000 + 2500 \cdot (- 1 \frac{- x}{2500}) - 2500 \cdot 40$

Schritt 5.3.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{x}{2500} + 40) = 100000 - 1 (- x) - 2500 \cdot 40$

Schritt 5.3.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{x}{2500} + 40) = 100000 + 1 x - 2500 \cdot 40$

Schritt 5.3.3.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (- \frac{x}{2500} + 40) = 100000 + x - 2500 \cdot 40$

Schritt 5.3.3.5

Mutltipliziere $- 2500$ mit $40$ .

$f (- \frac{x}{2500} + 40) = 100000 + x - 100000$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $100000 + x - 100000$ .

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Schritt 5.3.4.1

Subtrahiere $100000$ von $100000$ .

$f (- \frac{x}{2500} + 40) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (- \frac{x}{2500} + 40) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - \frac{x}{2500} + 40$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 100000 - 2500 x$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{x}{2500} + 40$