Trigonometrie Beispiele

$f (x) = 1 + \sec (x)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 1 + \sec (x)$ als Gleichung.

$y = 1 + \sec (x)$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 1 + \sec (y)$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $1 + \sec (y) = x$ um.

$1 + \sec (y) = x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sec (y) = x - 1$

Schritt 3.3

Bilde den inversen Sekans von beiden Seiten der Gleichung, um $y$ aus dem Sekans zu ziehen.

$y = arcsec (x - 1)$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = arcsec (x - 1)$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = arcsec (x - 1)$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 1 + \sec (x)$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (1 + \sec (x))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (1 + \sec (x)) = arcsec ((1 + \sec (x)) - 1)$

Schritt 5.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $(1 + \sec (x)) - 1$ .

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Schritt 5.2.3.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sec (x)) = arcsec (0 + \sec (x))$

Schritt 5.2.3.2

Addiere $0$ und $\sec (x)$ .

$f^{- 1} (1 + \sec (x)) = arcsec (\sec (x))$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (arcsec (x - 1))$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (arcsec (x - 1)) = 1 + \sec (arcsec (x - 1))$

Schritt 5.3.3

Die Funktionen Sekans und Arkussekans sind Inverse.

$f (arcsec (x - 1)) = 1 + x - 1$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 + x - 1$ .

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Schritt 5.3.4.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (arcsec (x - 1)) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (arcsec (x - 1)) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = arcsec (x - 1)$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 1 + \sec (x)$ .

$f^{- 1} (x) = arcsec (x - 1)$