Trigonometrie Beispiele

$f (x) = 1 - x^{3}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 1 - x^{3}$ als Gleichung.

$y = 1 - x^{3}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 1 - y^{3}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $1 - y^{3} = x$ um.

$1 - y^{3} = x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y^{3} = x - 1$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $- y^{3} = x - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- y^{3} = x - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- y^{3}}{- 1} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y^{3}}{1} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.3.2.2

Dividiere $y^{3}$ durch $1$ .

$y^{3} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{x}{- 1}$ .

$y^{3} = - 1 \cdot x + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.3.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot x$ als $- x$ um.

$y^{3} = - x + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.3.3.1.3

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$y^{3} = - x + 1$

Schritt 3.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[3]{- x + 1}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{- x + 1}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{- x + 1}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 1 - x^{3}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (1 - x^{3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (1 - x^{3}) = \sqrt[3]{- (1 - x^{3}) + 1}$

Schritt 5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (1 - x^{3}) = \sqrt[3]{- 1 \cdot 1 + x^{3} + 1}$

Schritt 5.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f^{- 1} (1 - x^{3}) = \sqrt[3]{- 1 + x^{3} + 1}$

Schritt 5.2.5

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f^{- 1} (1 - x^{3}) = \sqrt[3]{x^{3} + 0}$

Schritt 5.2.6

Addiere $x^{3}$ und $0$ .

$f^{- 1} (1 - x^{3}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Schritt 5.2.7

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} (1 - x^{3}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\sqrt[3]{- x + 1})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\sqrt[3]{- x + 1}) = 1 - {(\sqrt[3]{- x + 1})}^{3}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Schreibe ${\sqrt[3]{- x + 1}}^{3}$ als $- x + 1$ um.

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Schritt 5.3.3.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{- x + 1}$ als ${(- x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f (\sqrt[3]{- x + 1}) = 1 - {({(- x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Schritt 5.3.3.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[3]{- x + 1}) = 1 - {(- x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Schritt 5.3.3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f (\sqrt[3]{- x + 1}) = 1 - {(- x + 1)}^{\frac{3}{3}}$

Schritt 5.3.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt[3]{- x + 1}) = 1 - {(- x + 1)}^{\frac{3}{3}}$

Schritt 5.3.3.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt[3]{- x + 1}) = 1 - (- x + 1)$

Schritt 5.3.3.1.5

Vereinfache.

$f (\sqrt[3]{- x + 1}) = 1 - (- x + 1)$

Schritt 5.3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\sqrt[3]{- x + 1}) = 1 + x - 1 \cdot 1$

Schritt 5.3.3.3

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 5.3.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (\sqrt[3]{- x + 1}) = 1 + 1 x - 1 \cdot 1$

Schritt 5.3.3.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (\sqrt[3]{- x + 1}) = 1 + x - 1 \cdot 1$

Schritt 5.3.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (\sqrt[3]{- x + 1}) = 1 + x - 1$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 + x - 1$ .

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Schritt 5.3.4.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (\sqrt[3]{- x + 1}) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\sqrt[3]{- x + 1}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{- x + 1}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 1 - x^{3}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{- x + 1}$