Trigonometrie Beispiele

$f (x) = 2 \sin (3 x + \frac{9 π}{8})$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 2 \sin (3 x + \frac{9 π}{8})$ als Gleichung.

$y = 2 \sin (3 x + \frac{9 π}{8})$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 2 \sin (3 y + \frac{9 π}{8})$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $2 \sin (3 y + \frac{9 π}{8}) = x$ um.

$2 \sin (3 y + \frac{9 π}{8}) = x$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (3 y + \frac{9 π}{8}) = x$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (3 y + \frac{9 π}{8}) = x$ durch $2$ .

$\frac{2 \sin (3 y + \frac{9 π}{8})}{2} = \frac{x}{2}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sin (3 y + \frac{9 π}{8})}{2} = \frac{x}{2}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $\sin (3 y + \frac{9 π}{8})$ durch $1$ .

$\sin (3 y + \frac{9 π}{8}) = \frac{x}{2}$

Schritt 3.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$3 y + \frac{9 π}{8} = \arcsin (\frac{x}{2})$

Schritt 3.4

Subtrahiere $\frac{9 π}{8}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y = \arcsin (\frac{x}{2}) - \frac{9 π}{8}$

Schritt 3.5

Teile jeden Ausdruck in $3 y = \arcsin (\frac{x}{2}) - \frac{9 π}{8}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y = \arcsin (\frac{x}{2}) - \frac{9 π}{8}$ durch $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} + \frac{- \frac{9 π}{8}}{3}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} + \frac{- \frac{9 π}{8}}{3}$

Schritt 3.5.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} + \frac{- \frac{9 π}{8}}{3}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.3.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{9 π}{8} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 3.5.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.5.3.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{9 π}{8}$ in den Zähler.

$y = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} + \frac{- 9 π}{8} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 3.5.3.1.2.2

Faktorisiere $3$ aus $- 9 π$ heraus.

$y = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} + \frac{3 (- 3 π)}{8} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 3.5.3.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} + \frac{3 (- 3 π)}{8} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 3.5.3.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} + \frac{- 3 π}{8}$

Schritt 3.5.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 2 \sin (3 x + \frac{9 π}{8})$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (2 \sin (3 x + \frac{9 π}{8}))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 \sin (3 x + \frac{9 π}{8})) = \frac{\arcsin (\frac{2 \sin (3 x + \frac{9 π}{8})}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}$

Schritt 5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (2 \sin (3 x + \frac{9 π}{8})) = \frac{\arcsin (\frac{2 \sin (3 x + \frac{9 π}{8})}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}$

Schritt 5.2.3.2

Dividiere $\sin (3 x + \frac{9 π}{8})$ durch $1$ .

$f^{- 1} (2 \sin (3 x + \frac{9 π}{8})) = \frac{\arcsin (\sin (3 x + \frac{9 π}{8}))}{3} - \frac{3 π}{8}$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}) = 2 \sin (3 (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}) + \frac{9 π}{8})$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}) = 2 \sin (3 (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3}) + 3 (- \frac{3 π}{8}) + \frac{9 π}{8})$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}) = 2 \sin (3 (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3}) + 3 (- \frac{3 π}{8}) + \frac{9 π}{8})$

Schritt 5.3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}) = 2 \sin (\arcsin (\frac{x}{2}) + 3 (- \frac{3 π}{8}) + \frac{9 π}{8})$

Schritt 5.3.3.3

Multipliziere $3 (- \frac{3 π}{8})$ .

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Schritt 5.3.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}) = 2 \sin (\arcsin (\frac{x}{2}) - 3 \frac{3 π}{8} + \frac{9 π}{8})$

Schritt 5.3.3.3.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{3 π}{8}$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}) = 2 \sin (\arcsin (\frac{x}{2}) + \frac{- 3 (3 π)}{8} + \frac{9 π}{8})$

Schritt 5.3.3.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}) = 2 \sin (\arcsin (\frac{x}{2}) + \frac{- 9 π}{8} + \frac{9 π}{8})$

Schritt 5.3.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}) = 2 \sin (\arcsin (\frac{x}{2}) - \frac{9 π}{8} + \frac{9 π}{8})$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\arcsin (\frac{x}{2}) - \frac{9 π}{8} + \frac{9 π}{8}$ .

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Schritt 5.3.4.1

Addiere $- \frac{9 π}{8}$ und $\frac{9 π}{8}$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}) = 2 \sin (\arcsin (\frac{x}{2}) + 0)$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $\arcsin (\frac{x}{2})$ und $0$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}) = 2 \sin (\arcsin (\frac{x}{2}))$

Schritt 5.3.5

Die Funktionen Sinus und Arkussinus sind Inverse.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}) = 2 (\frac{x}{2})$

Schritt 5.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}) = 2 (\frac{x}{2})$

Schritt 5.3.6.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 2 \sin (3 x + \frac{9 π}{8})$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}$