Trigonometrie Beispiele

$f (x) = 2 - 7 x^{3}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 2 - 7 x^{3}$ als Gleichung.

$y = 2 - 7 x^{3}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 2 - 7 y^{3}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $2 - 7 y^{3} = x$ um.

$2 - 7 y^{3} = x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 7 y^{3} = x - 2$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $- 7 y^{3} = x - 2$ durch $- 7$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 7 y^{3} = x - 2$ durch $- 7$ .

$\frac{- 7 y^{3}}{- 7} = \frac{x}{- 7} + \frac{- 2}{- 7}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 7$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 7 y^{3}}{- 7} = \frac{x}{- 7} + \frac{- 2}{- 7}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $y^{3}$ durch $1$ .

$y^{3} = \frac{x}{- 7} + \frac{- 2}{- 7}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{3} = - \frac{x}{7} + \frac{- 2}{- 7}$

Schritt 3.3.3.1.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y^{3} = - \frac{x}{7} + \frac{2}{7}$

Schritt 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{- \frac{x}{7} + \frac{2}{7}}$

Schritt 3.5

Vereinfache $\sqrt[3]{- \frac{x}{7} + \frac{2}{7}}$ .

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Schritt 3.5.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \sqrt[3]{\frac{- x + 2}{7}}$

Schritt 3.5.2

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{- x + 2}{7}}$ als $\frac{\sqrt[3]{- x + 2}}{\sqrt[3]{7}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 2}}{\sqrt[3]{7}}$

Schritt 3.5.3

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{- x + 2}}{\sqrt[3]{7}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 2}}{\sqrt[3]{7}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{2}}$

Schritt 3.5.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.5.4.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{- x + 2}}{\sqrt[3]{7}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{\sqrt[3]{7} {\sqrt[3]{7}}^{2}}$

Schritt 3.5.4.2

Potenziere $\sqrt[3]{7}$ mit $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{1} {\sqrt[3]{7}}^{2}}$

Schritt 3.5.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{1 + 2}}$

Schritt 3.5.4.4

Addiere $1$ und $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{3}}$

Schritt 3.5.4.5

Schreibe ${\sqrt[3]{7}}^{3}$ als $7$ um.

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Schritt 3.5.4.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{7}$ als $7^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{{(7^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 3.5.4.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 3.5.4.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.5.4.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.5.4.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.5.4.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7^{1}}$

Schritt 3.5.4.5.5

Berechne den Exponenten.

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7}$

Schritt 3.5.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.5.1

Schreibe ${\sqrt[3]{7}}^{2}$ als $\sqrt[3]{7^{2}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 2} \sqrt[3]{7^{2}}}{7}$

Schritt 3.5.5.2

Potenziere $7$ mit $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 2} \sqrt[3]{49}}{7}$

Schritt 3.5.6

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 3.5.6.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \frac{\sqrt[3]{(- x + 2) \cdot 49}}{7}$

Schritt 3.5.6.2

Stelle die Faktoren in $\frac{\sqrt[3]{(- x + 2) \cdot 49}}{7}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 2 - 7 x^{3}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (2 - 7 x^{3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 - 7 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{49 (- (2 - 7 x^{3}) + 2)}}{7}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (2 - 7 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{49 (- 1 \cdot 2 - (- 7 x^{3}) + 2)}}{7}$

Schritt 5.2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f^{- 1} (2 - 7 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{49 (- 2 - (- 7 x^{3}) + 2)}}{7}$

Schritt 5.2.3.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (2 - 7 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{49 (- 2 + 7 x^{3} + 2)}}{7}$

Schritt 5.2.3.4

Addiere $- 2$ und $2$ .

$f^{- 1} (2 - 7 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{49 (7 x^{3} + 0)}}{7}$

Schritt 5.2.3.5

Addiere $7 x^{3}$ und $0$ .

$f^{- 1} (2 - 7 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{49 \cdot (7 x^{3})}}{7}$

Schritt 5.2.3.6

Mutltipliziere $49$ mit $7$ .

$f^{- 1} (2 - 7 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{343 x^{3}}}{7}$

Schritt 5.2.3.7

Schreibe $343 x^{3}$ als ${(7 x)}^{3}$ um.

$f^{- 1} (2 - 7 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{{(7 x)}^{3}}}{7}$

Schritt 5.2.3.8

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} (2 - 7 x^{3}) = \frac{7 x}{7}$

Schritt 5.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (2 - 7 x^{3}) = \frac{7 x}{7}$

Schritt 5.2.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (2 - 7 x^{3}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 7 {(\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7})}^{3}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}$ an.

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 7 \frac{{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}^{3}}{7^{3}}$

Schritt 5.3.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.2.1

Schreibe ${\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}^{3}$ als $49 (- x + 2)$ um.

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Schritt 5.3.3.2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{49 (- x + 2)}$ als ${(49 (- x + 2))}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 7 \frac{{({(49 (- x + 2))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{7^{3}}$

Schritt 5.3.3.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 7 \frac{{(49 (- x + 2))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{7^{3}}$

Schritt 5.3.3.2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 7 \frac{{(49 (- x + 2))}^{\frac{3}{3}}}{7^{3}}$

Schritt 5.3.3.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 7 \frac{{(49 (- x + 2))}^{\frac{3}{3}}}{7^{3}}$

Schritt 5.3.3.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 7 \frac{49 (- x + 2)}{7^{3}}$

Schritt 5.3.3.2.1.5

Vereinfache.

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 7 \frac{49 (- x + 2)}{7^{3}}$

Schritt 5.3.3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 7 \frac{49 (- x) + 49 \cdot 2}{7^{3}}$

Schritt 5.3.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $49$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 7 \frac{- 49 x + 49 \cdot 2}{7^{3}}$

Schritt 5.3.3.2.4

Mutltipliziere $49$ mit $2$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 7 \frac{- 49 x + 98}{7^{3}}$

Schritt 5.3.3.2.5

Faktorisiere $49$ aus $- 49 x + 98$ heraus.

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Schritt 5.3.3.2.5.1

Faktorisiere $49$ aus $- 49 x$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 7 \frac{49 (- x) + 98}{7^{3}}$

Schritt 5.3.3.2.5.2

Faktorisiere $49$ aus $98$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 7 \frac{49 (- x) + 49 (2)}{7^{3}}$

Schritt 5.3.3.2.5.3

Faktorisiere $49$ aus $49 (- x) + 49 (2)$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 7 \frac{49 (- x + 2)}{7^{3}}$

Schritt 5.3.3.3

Potenziere $7$ mit $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 7 \frac{49 (- x + 2)}{343}$

Schritt 5.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.3.3.4.1

Faktorisiere $7$ aus $- 7$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 + 7 (- 1) (\frac{49 (- x + 2)}{343})$

Schritt 5.3.3.4.2

Faktorisiere $7$ aus $343$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 + 7 \cdot (- 1 \frac{49 (- x + 2)}{7 \cdot 49})$

Schritt 5.3.3.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 + 7 \cdot (- 1 \frac{49 (- x + 2)}{7 \cdot 49})$

Schritt 5.3.3.4.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 1 \frac{49 (- x + 2)}{49}$

Schritt 5.3.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $49$ .

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Schritt 5.3.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 1 \frac{49 (- x + 2)}{49}$

Schritt 5.3.3.5.2

Dividiere $- x + 2$ durch $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 1 (- x + 2)$

Schritt 5.3.3.6

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 1 (- x) - 1 \cdot 2$

Schritt 5.3.3.7

Multipliziere $- 1 (- x)$ .

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Schritt 5.3.3.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 + 1 x - 1 \cdot 2$

Schritt 5.3.3.7.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 + x - 1 \cdot 2$

Schritt 5.3.3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 + x - 2$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 + x - 2$ .

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Schritt 5.3.4.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 2 - 7 x^{3}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}$