Trigonometrie Beispiele

$f (x) = 2 + \cos (\frac{π}{2} x)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 2 + \cos (\frac{π}{2} x)$ als Gleichung.

$y = 2 + \cos (\frac{π}{2} x)$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 2 + \cos (\frac{π}{2} y)$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $2 + \cos (\frac{π}{2} y) = x$ um.

$2 + \cos (\frac{π}{2} y) = x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (\frac{π}{2} y) = x - 2$

Schritt 3.3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$\frac{π}{2} y = \arccos (x - 2)$

Schritt 3.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.1

Kombiniere $\frac{π}{2}$ und $y$ .

$\frac{π y}{2} = \arccos (x - 2)$

Schritt 3.5

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{2}{π}$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π y}{2} = \frac{2}{π} \arccos (x - 2)$

Schritt 3.6

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.6.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.6.1.1

Vereinfache $\frac{2}{π} \cdot \frac{π y}{2}$ .

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Schritt 3.6.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.6.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π y}{2} = \frac{2}{π} \arccos (x - 2)$

Schritt 3.6.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{π} (π y) = \frac{2}{π} \arccos (x - 2)$

Schritt 3.6.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 3.6.1.1.2.1

Faktorisiere $π$ aus $π y$ heraus.

$\frac{1}{π} (π (y)) = \frac{2}{π} \arccos (x - 2)$

Schritt 3.6.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{π} (π y) = \frac{2}{π} \arccos (x - 2)$

Schritt 3.6.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{2}{π} \arccos (x - 2)$

Schritt 3.6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.6.2.1

Kombiniere $\frac{2}{π}$ und $\arccos (x - 2)$ .

$y = \frac{2 \arccos (x - 2)}{π}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 \arccos (x - 2)}{π}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{2 \arccos (x - 2)}{π}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 2 + \cos (\frac{π}{2} x)$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (2 + \cos (\frac{π}{2} x))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 + \cos (\frac{π}{2} x)) = \frac{2 \arccos ((2 + \cos (\frac{π}{2} x)) - 2)}{π}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 + \cos (\frac{π}{2} x) - 2$ .

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Schritt 5.2.3.1.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f^{- 1} (2 + \cos (\frac{π}{2} x)) = \frac{2 \arccos (0 + \cos (\frac{π}{2} x))}{π}$

Schritt 5.2.3.1.2

Addiere $0$ und $\cos (\frac{π}{2} x)$ .

$f^{- 1} (2 + \cos (\frac{π}{2} x)) = \frac{2 \arccos (\cos (\frac{π}{2} x))}{π}$

Schritt 5.2.3.2

Kombiniere $\frac{π}{2}$ und $x$ .

$f^{- 1} (2 + \cos (\frac{π}{2} x)) = \frac{2 \arccos (\cos (\frac{π x}{2}))}{π}$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π}) = 2 + \cos (\frac{π}{2} \cdot (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π}))$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 5.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π}) = 2 + \cos (\frac{π}{2} \cdot \frac{2 \arccos (x - 2)}{π})$

Schritt 5.3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π}) = 2 + \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 \arccos (x - 2)))$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \arccos (x - 2)$ heraus.

$f (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π}) = 2 + \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 (\arccos (x - 2))))$

Schritt 5.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π}) = 2 + \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 \arccos (x - 2)))$

Schritt 5.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π}) = 2 + \cos (\arccos (x - 2))$

Schritt 5.3.3.3

Die Funktionen Kosinus und Arkuskosinus sind Inverse.

$f (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π}) = 2 + x - 2$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 + x - 2$ .

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Schritt 5.3.4.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π}) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{2 \arccos (x - 2)}{π}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 2 + \cos (\frac{π}{2} x)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2 \arccos (x - 2)}{π}$