Trigonometrie Beispiele

$f (x) = 2 x^{2} + 6 x - 9$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 2 x^{2} + 6 x - 9$ als Gleichung.

$y = 2 x^{2} + 6 x - 9$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 2 y^{2} + 6 y - 9$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $2 y^{2} + 6 y - 9 = x$ um.

$2 y^{2} + 6 y - 9 = x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y^{2} + 6 y - 9 - x = 0$

Schritt 3.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.4

Setze die Werte $a = 2$ , $b = 6$ und $c = - 9 - x$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (- 9 - x))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 2 \cdot (- 9 - x)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.5.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 8 \cdot (- 9 - x)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 8 \cdot - 9 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.5.1.4

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 9$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 72 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.5.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 72 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.5.1.6

Addiere $36$ und $72$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{108 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.5.1.7

Faktorisiere $4$ aus $108 + 8 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $108$ heraus.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (27) + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.5.1.7.2

Faktorisiere $4$ aus $8 x$ heraus.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (27) + 4 (2 x)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.5.1.7.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (27) + 4 (2 x)$ heraus.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (27 + 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.5.1.8

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} (27 + 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.5.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{27 + 2 x}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{27 + 2 x}}{4}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{27 + 2 x}}{4}$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{27 + 2 x}}{2}$

Schritt 3.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 2 \cdot (- 9 - x)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.6.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 8 \cdot (- 9 - x)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 8 \cdot - 9 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.6.1.4

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 9$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 72 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.6.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 72 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.6.1.6

Addiere $36$ und $72$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{108 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.6.1.7

Faktorisiere $4$ aus $108 + 8 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $108$ heraus.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (27) + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.6.1.7.2

Faktorisiere $4$ aus $8 x$ heraus.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (27) + 4 (2 x)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.6.1.7.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (27) + 4 (2 x)$ heraus.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (27 + 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.6.1.8

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} (27 + 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.6.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{27 + 2 x}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{27 + 2 x}}{4}$

Schritt 3.6.3

Vereinfache $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{27 + 2 x}}{4}$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{27 + 2 x}}{2}$

Schritt 3.6.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = \frac{- 3 + \sqrt{27 + 2 x}}{2}$

Schritt 3.6.5

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$y = \frac{- 1 \cdot 3 + \sqrt{27 + 2 x}}{2}$

Schritt 3.6.6

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{27 + 2 x}$ heraus.

$y = \frac{- 1 \cdot 3 - 1 (- \sqrt{27 + 2 x})}{2}$

Schritt 3.6.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (3) - 1 (- \sqrt{27 + 2 x})$ heraus.

$y = \frac{- 1 (3 - \sqrt{27 + 2 x})}{2}$

Schritt 3.6.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{3 - \sqrt{27 + 2 x}}{2}$

Schritt 3.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 2 \cdot (- 9 - x)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.7.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 8 \cdot (- 9 - x)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.7.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 8 \cdot - 9 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.7.1.4

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 9$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 72 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.7.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 72 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.7.1.6

Addiere $36$ und $72$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{108 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.7.1.7

Faktorisiere $4$ aus $108 + 8 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $108$ heraus.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (27) + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.7.1.7.2

Faktorisiere $4$ aus $8 x$ heraus.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (27) + 4 (2 x)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.7.1.7.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (27) + 4 (2 x)$ heraus.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (27 + 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.7.1.8

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} (27 + 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.7.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{27 + 2 x}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{27 + 2 x}}{4}$

Schritt 3.7.3

Vereinfache $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{27 + 2 x}}{4}$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{27 + 2 x}}{2}$

Schritt 3.7.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = \frac{- 3 - \sqrt{27 + 2 x}}{2}$

Schritt 3.7.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 - \sqrt{27 + 2 x}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.5.1

Stelle $27$ und $2 x$ um.

$y = \frac{- 3 - \sqrt{2 x + 27}}{2}$

Schritt 3.7.5.2

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$y = \frac{- 1 \cdot 3 - \sqrt{2 x + 27}}{2}$

Schritt 3.7.5.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{2 x + 27}$ heraus.

$y = \frac{- 1 \cdot 3 - (\sqrt{2 x + 27})}{2}$

Schritt 3.7.5.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (3) - (\sqrt{2 x + 27})$ heraus.

$y = \frac{- 1 (3 + \sqrt{2 x + 27})}{2}$

Schritt 3.7.5.5

Schreibe $- 1 (3 + \sqrt{2 x + 27})$ als $- (3 + \sqrt{2 x + 27})$ um.

$y = \frac{- (3 + \sqrt{2 x + 27})}{2}$

Schritt 3.7.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{3 + \sqrt{2 x + 27}}{2}$

Schritt 3.8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = - \frac{3 - \sqrt{27 + 2 x}}{2}$

$y = - \frac{3 + \sqrt{2 x + 27}}{2}$

$y = - \frac{3 - \sqrt{27 + 2 x}}{2}$

$y = - \frac{3 + \sqrt{2 x + 27}}{2}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{3 - \sqrt{27 + 2 x}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{2 x + 27}}{2}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - \frac{3 - \sqrt{27 + 2 x}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{2 x + 27}}{2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 2 x^{2} + 6 x - 9$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Der Definitionsbereich der Inversen (Umkehrfunktion) ist der Wertebereich der ursprünglichen Funktion und umgekehrt. Finde den Definitionsbereich und den Wertebereich von $f (x) = 2 x^{2} + 6 x - 9$ und $f^{- 1} (x) = - \frac{3 - \sqrt{27 + 2 x}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{2 x + 27}}{2}$ und vergleiche sie.

Schritt 5.2

Finde den Wertebereich von $f (x) = 2 x^{2} + 6 x - 9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$[- \frac{27}{2}, \infty)$

Schritt 5.3

Bestimme den Definitionsbereich von $- \frac{3 - \sqrt{27 + 2 x}}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{27 + 2 x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$27 + 2 x \geq 0$

Schritt 5.3.2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1

Subtrahiere $27$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$2 x \geq - 27$

Schritt 5.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x \geq - 27$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x \geq - 27$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{- 27}{2}$

Schritt 5.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{- 27}{2}$

Schritt 5.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{- 27}{2}$

Schritt 5.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x \geq - \frac{27}{2}$

Schritt 5.3.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[- \frac{27}{2}, \infty)$

Schritt 5.4

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = 2 x^{2} + 6 x - 9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

$(- \infty, \infty)$

Schritt 5.5

Da der Definitionsbereich von $f^{- 1} (x) = - \frac{3 - \sqrt{27 + 2 x}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{2 x + 27}}{2}$ der Wertebereich von $f (x) = 2 x^{2} + 6 x - 9$ ist und der Wertebereich von $f^{- 1} (x) = - \frac{3 - \sqrt{27 + 2 x}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{2 x + 27}}{2}$ der Definitionsbereich von $f (x) = 2 x^{2} + 6 x - 9$ ist, ist $f^{- 1} (x) = - \frac{3 - \sqrt{27 + 2 x}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{2 x + 27}}{2}$ die inverse Funktion von $f (x) = 2 x^{2} + 6 x - 9$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{3 - \sqrt{27 + 2 x}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{2 x + 27}}{2}$

Schritt 6