Trigonometrie Beispiele

$f (x) = 2 e^{x - 2} + 4$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 2 e^{x - 2} + 4$ als Gleichung.

$y = 2 e^{x - 2} + 4$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 2 e^{y - 2} + 4$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $2 e^{y - 2} + 4 = x$ um.

$2 e^{y - 2} + 4 = x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 e^{y - 2} = x - 4$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $2 e^{y - 2} = x - 4$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 e^{y - 2} = x - 4$ durch $2$ .

$\frac{2 e^{y - 2}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 4}{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 e^{y - 2}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 4}{2}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $e^{y - 2}$ durch $1$ .

$e^{y - 2} = \frac{x}{2} + \frac{- 4}{2}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Dividiere $- 4$ durch $2$ .

$e^{y - 2} = \frac{x}{2} - 2$

Schritt 3.4

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{y - 2}) = \ln (\frac{x}{2} - 2)$

Schritt 3.5

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.5.1

Zerlege $\ln (e^{y - 2})$ durch Herausziehen von $y - 2$ aus dem Logarithmus.

$(y - 2) \ln (e) = \ln (\frac{x}{2} - 2)$

Schritt 3.5.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$(y - 2) \cdot 1 = \ln (\frac{x}{2} - 2)$

Schritt 3.5.3

Mutltipliziere $y - 2$ mit $1$ .

$y - 2 = \ln (\frac{x}{2} - 2)$

Schritt 3.6

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \ln (\frac{x}{2} - 2) + 2$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{2} - 2) + 2$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{2} - 2) + 2$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 2 e^{x - 2} + 4$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = \ln (\frac{2 e^{x - 2} + 4}{2} - 2) + 2$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 e^{x - 2} + 4$ und $2$ .

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Schritt 5.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 e^{x - 2}$ heraus.

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = \ln (\frac{2 (e^{x - 2}) + 4}{2} - 2) + 2$

Schritt 5.2.3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = \ln (\frac{2 (e^{x - 2}) + 2 \cdot 2}{2} - 2) + 2$

Schritt 5.2.3.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (e^{x - 2}) + 2 (2)$ heraus.

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = \ln (\frac{2 (e^{x - 2} + 2)}{2} - 2) + 2$

Schritt 5.2.3.1.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = \ln (\frac{2 (e^{x - 2} + 2)}{2 (1)} - 2) + 2$

Schritt 5.2.3.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = \ln (\frac{2 (e^{x - 2} + 2)}{2 \cdot 1} - 2) + 2$

Schritt 5.2.3.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = \ln (\frac{e^{x - 2} + 2}{1} - 2) + 2$

Schritt 5.2.3.1.4.4

Dividiere $e^{x - 2} + 2$ durch $1$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = \ln (e^{x - 2} + 2 - 2) + 2$

Schritt 5.2.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $e^{x - 2} + 2 - 2$ .

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Schritt 5.2.3.2.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = \ln (e^{x - 2} + 0) + 2$

Schritt 5.2.3.2.2

Addiere $e^{x - 2}$ und $0$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = \ln (e^{x - 2}) + 2$

Schritt 5.2.3.3

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $x - 2$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = (x - 2) \ln (e) + 2$

Schritt 5.2.3.4

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = (x - 2) \cdot 1 + 2$

Schritt 5.2.3.5

Mutltipliziere $x - 2$ mit $1$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = x - 2 + 2$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 2 + 2$ .

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Schritt 5.2.4.1

Addiere $- 2$ und $2$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) = 2 e^{(\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) - 2} + 4$

Schritt 5.3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 e^{(\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) - 2} + 4$ .

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Schritt 5.3.3.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f (\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) = 2 e^{\ln (\frac{x}{2} - 2) + 0} + 4$

Schritt 5.3.3.2

Addiere $\ln (\frac{x}{2} - 2)$ und $0$ .

$f (\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) = 2 e^{\ln (\frac{x}{2} - 2)} + 4$

Schritt 5.3.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.4.1

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) = 2 (\frac{x}{2} - 2) + 4$

Schritt 5.3.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 \cdot - 2 + 4$

Schritt 5.3.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 \cdot - 2 + 4$

Schritt 5.3.4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) = x + 2 \cdot - 2 + 4$

Schritt 5.3.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f (\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) = x - 4 + 4$

Schritt 5.3.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 4 + 4$ .

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Schritt 5.3.5.1

Addiere $- 4$ und $4$ .

$f (\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) = x + 0$

Schritt 5.3.5.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{2} - 2) + 2$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 2 e^{x - 2} + 4$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{2} - 2) + 2$