Trigonometrie Beispiele

$y = \arcsin (x + 2)$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \arcsin (y + 2)$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\arcsin (y + 2) = x$ um.

$\arcsin (y + 2) = x$

Schritt 2.2

Nimm den inversen Arcussinus von beiden Seiten der Gleichung, um $y$ aus dem Arcussinus zu ziehen.

$y + 2 = \sin (x)$

Schritt 2.3

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = \sin (x) - 2$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \sin (x) - 2$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \sin (x) - 2$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \arcsin (x + 2)$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\arcsin (x + 2))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\arcsin (x + 2)) = \sin (\arcsin (x + 2)) - 2$

Schritt 4.2.3

Die Funktionen Sinus und Arkussinus sind Inverse.

$f^{- 1} (\arcsin (x + 2)) = x + 2 - 2$

Schritt 4.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 2 - 2$ .

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Schritt 4.2.4.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f^{- 1} (\arcsin (x + 2)) = x + 0$

Schritt 4.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\arcsin (x + 2)) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\sin (x) - 2)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\sin (x) - 2) = \arcsin ((\sin (x) - 2) + 2)$

Schritt 4.3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $(\sin (x) - 2) + 2$ .

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Schritt 4.3.3.1

Addiere $- 2$ und $2$ .

$f (\sin (x) - 2) = \arcsin (\sin (x) + 0)$

Schritt 4.3.3.2

Addiere $\sin (x)$ und $0$ .

$f (\sin (x) - 2) = \arcsin (\sin (x))$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \sin (x) - 2$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \arcsin (x + 2)$ .

$f^{- 1} (x) = \sin (x) - 2$