Trigonometrie Beispiele

$y = \arcsin (\frac{x + 3}{4})$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \arcsin (\frac{y + 3}{4})$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\arcsin (\frac{y + 3}{4}) = x$ um.

$\arcsin (\frac{y + 3}{4}) = x$

Schritt 2.2

Nimm den inversen Arcussinus von beiden Seiten der Gleichung, um $y$ aus dem Arcussinus zu ziehen.

$\frac{y + 3}{4} = \sin (x)$

Schritt 2.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege den Bruch $\frac{y + 3}{4}$ in zwei Brüche.

$\frac{y}{4} + \frac{3}{4} = \sin (x)$

Schritt 2.4

Subtrahiere $\frac{3}{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y}{4} = \sin (x) - \frac{3}{4}$

Schritt 2.5

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $4$ .

$4 \frac{y}{4} = 4 (\sin (x) - \frac{3}{4})$

Schritt 2.6

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 2.6.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.6.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{y}{4} = 4 (\sin (x) - \frac{3}{4})$

Schritt 2.6.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 4 (\sin (x) - \frac{3}{4})$

Schritt 2.6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.6.2.1

Vereinfache $4 (\sin (x) - \frac{3}{4})$ .

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Schritt 2.6.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 4 \sin (x) + 4 (- \frac{3}{4})$

Schritt 2.6.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.6.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{4}$ in den Zähler.

$y = 4 \sin (x) + 4 (\frac{- 3}{4})$

Schritt 2.6.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 4 \sin (x) + 4 (\frac{- 3}{4})$

Schritt 2.6.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = 4 \sin (x) - 3$

Schritt 2.7

Subtrahiere $\frac{3}{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y}{4} = \sin (x) - \frac{3}{4}$

Schritt 2.8

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $4$ .

$4 \frac{y}{4} = 4 (\sin (x) - \frac{3}{4})$

Schritt 2.9

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 2.9.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.9.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.9.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{y}{4} = 4 (\sin (x) - \frac{3}{4})$

Schritt 2.9.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 4 (\sin (x) - \frac{3}{4})$

Schritt 2.9.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.9.2.1

Vereinfache $4 (\sin (x) - \frac{3}{4})$ .

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Schritt 2.9.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 4 \sin (x) + 4 (- \frac{3}{4})$

Schritt 2.9.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.9.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{4}$ in den Zähler.

$y = 4 \sin (x) + 4 (\frac{- 3}{4})$

Schritt 2.9.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 4 \sin (x) + 4 (\frac{- 3}{4})$

Schritt 2.9.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = 4 \sin (x) - 3$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = 4 \sin (x) - 3$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 4 \sin (x) - 3$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \arcsin (\frac{x + 3}{4})$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\arcsin (\frac{x + 3}{4}))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\arcsin (\frac{x + 3}{4})) = 4 \sin (\arcsin (\frac{x + 3}{4})) - 3$

Schritt 4.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.1

Die Funktionen Sinus und Arkussinus sind Inverse.

$f^{- 1} (\arcsin (\frac{x + 3}{4})) = 4 (\frac{x + 3}{4}) - 3$

Schritt 4.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\arcsin (\frac{x + 3}{4})) = 4 (\frac{x + 3}{4}) - 3$

Schritt 4.2.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\arcsin (\frac{x + 3}{4})) = x + 3 - 3$

Schritt 4.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 3 - 3$ .

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Schritt 4.2.4.1

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$f^{- 1} (\arcsin (\frac{x + 3}{4})) = x + 0$

Schritt 4.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\arcsin (\frac{x + 3}{4})) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (4 \sin (x) - 3)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (4 \sin (x) - 3) = \arcsin (\frac{(4 \sin (x) - 3) + 3}{4})$

Schritt 4.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.3.1

Addiere $- 3$ und $3$ .

$f (4 \sin (x) - 3) = \arcsin (\frac{4 \sin (x) + 0}{4})$

Schritt 4.3.3.2

Addiere $4 \sin (x)$ und $0$ .

$f (4 \sin (x) - 3) = \arcsin (\frac{4 \sin (x)}{4})$

Schritt 4.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (4 \sin (x) - 3) = \arcsin (\frac{4 \sin (x)}{4})$

Schritt 4.3.4.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$f (4 \sin (x) - 3) = \arcsin (\sin (x))$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = 4 \sin (x) - 3$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \arcsin (\frac{x + 3}{4})$ .

$f^{- 1} (x) = 4 \sin (x) - 3$