Trigonometrie Beispiele

$y = \frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} x)$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} y)$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} y) = x$ um.

$\frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} y) = x$

Schritt 2.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 (\frac{1}{3} \sin (\frac{1}{2} y)) = 3 x$

Schritt 2.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $3 (\frac{1}{3} \sin (\frac{1}{2} y))$ .

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Schritt 2.3.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\sin (\frac{1}{2} y)$ .

$3 \frac{\sin (\frac{1}{2} y)}{3} = 3 x$

Schritt 2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{\sin (\frac{1}{2} y)}{3} = 3 x$

Schritt 2.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (\frac{1}{2} y) = 3 x$

Schritt 2.4

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$\frac{1}{2} y = \arcsin (3 x)$

Schritt 2.5

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y$ .

$\frac{y}{2} = \arcsin (3 x)$

Schritt 2.6

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 \arcsin (3 x)$

Schritt 2.7

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.7.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{y}{2} = 2 \arcsin (3 x)$

Schritt 2.7.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 2 \arcsin (3 x)$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = 2 \arcsin (3 x)$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 2 \arcsin (3 x)$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} x)$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} x))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} x)) = 2 \arcsin (3 (\frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} x)))$

Schritt 4.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} x)) = 2 \arcsin (3 (\frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{x}{2})))$

Schritt 4.2.4

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\sin (\frac{x}{2})$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} x)) = 2 \arcsin (3 (\frac{\sin (\frac{x}{2})}{3}))$

Schritt 4.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} x)) = 2 \arcsin (3 (\frac{\sin (\frac{x}{2})}{3}))$

Schritt 4.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} x)) = 2 \arcsin (\sin (\frac{x}{2}))$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (2 \arcsin (3 x))$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (2 \arcsin (3 x)) = \frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} \cdot (2 \arcsin (3 x)))$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \arcsin (3 x)$ heraus.

$f (2 \arcsin (3 x)) = \frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} \cdot (2 (\arcsin (3 x))))$

Schritt 4.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (2 \arcsin (3 x)) = \frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} \cdot (2 \arcsin (3 x)))$

Schritt 4.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (2 \arcsin (3 x)) = \frac{1}{3} \cdot \sin (\arcsin (3 x))$

Schritt 4.3.4

Die Funktionen Sinus und Arkussinus sind Inverse.

$f (2 \arcsin (3 x)) = \frac{1}{3} \cdot (3 x)$

Schritt 4.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.5.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$f (2 \arcsin (3 x)) = \frac{1}{3} \cdot (3 (x))$

Schritt 4.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (2 \arcsin (3 x)) = \frac{1}{3} \cdot (3 x)$

Schritt 4.3.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f (2 \arcsin (3 x)) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = 2 \arcsin (3 x)$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{1}{3} \cdot \sin (\frac{1}{2} x)$ .

$f^{- 1} (x) = 2 \arcsin (3 x)$