Trigonometrie Beispiele

$y = - \frac{3}{4} x + 15$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = - \frac{3}{4} y + 15$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{3}{4} y + 15 = x$ um.

$- \frac{3}{4} y + 15 = x$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Kombiniere $y$ und $\frac{3}{4}$ .

$- \frac{y \cdot 3}{4} + 15 = x$

Schritt 2.2.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $y$ .

$- \frac{3 y}{4} + 15 = x$

Schritt 2.3

Subtrahiere $15$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{3 y}{4} = x - 15$

Schritt 2.4

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- \frac{4}{3}$ .

$- \frac{4}{3} (- \frac{3 y}{4}) = - \frac{4}{3} (x - 15)$

Schritt 2.5

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.1.1

Vereinfache $- \frac{4}{3} (- \frac{3 y}{4})$ .

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Schritt 2.5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.5.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4}{3}$ in den Zähler.

$\frac{- 4}{3} (- \frac{3 y}{4}) = - \frac{4}{3} (x - 15)$

Schritt 2.5.1.1.1.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3 y}{4}$ in den Zähler.

$\frac{- 4}{3} \cdot \frac{- 3 y}{4} = - \frac{4}{3} (x - 15)$

Schritt 2.5.1.1.1.3

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{4 (- 1)}{3} \cdot \frac{- 3 y}{4} = - \frac{4}{3} (x - 15)$

Schritt 2.5.1.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- 3 y}{4} = - \frac{4}{3} (x - 15)$

Schritt 2.5.1.1.1.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{3} (- 3 y) = - \frac{4}{3} (x - 15)$

Schritt 2.5.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.5.1.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 y$ heraus.

$\frac{- 1}{3} (3 (- y)) = - \frac{4}{3} (x - 15)$

Schritt 2.5.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{3} (3 (- y)) = - \frac{4}{3} (x - 15)$

Schritt 2.5.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- - y = - \frac{4}{3} (x - 15)$

Schritt 2.5.1.1.3

Multipliziere.

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Schritt 2.5.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 y = - \frac{4}{3} (x - 15)$

Schritt 2.5.1.1.3.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y = - \frac{4}{3} (x - 15)$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.2.1

Vereinfache $- \frac{4}{3} (x - 15)$ .

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Schritt 2.5.2.1.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.5.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{4}{3} x - \frac{4}{3} \cdot - 15$

Schritt 2.5.2.1.1.2

Kombiniere $x$ und $\frac{4}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} - \frac{4}{3} \cdot - 15$

Schritt 2.5.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.5.2.1.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4}{3}$ in den Zähler.

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{- 4}{3} \cdot - 15$

Schritt 2.5.2.1.1.3.2

Faktorisiere $3$ aus $- 15$ heraus.

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{- 4}{3} \cdot (3 (- 5))$

Schritt 2.5.2.1.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{- 4}{3} \cdot (3 \cdot - 5)$

Schritt 2.5.2.1.1.3.4

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} - 4 \cdot - 5$

Schritt 2.5.2.1.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 5$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + 20$

Schritt 2.5.2.1.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + 20$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = - \frac{4 x}{3} + 20$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - \frac{4 x}{3} + 20$ die Umkehrfunktion von $f (x) = - \frac{3}{4} x + 15$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 15)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 15) = - \frac{4 (- \frac{3}{4} x + 15)}{3} + 20$

Schritt 4.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.1.1

Kombiniere $x$ und $\frac{3}{4}$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 15) = - \frac{4 (- \frac{x \cdot 3}{4} + 15)}{3} + 20$

Schritt 4.2.3.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 15) = - \frac{4 (- \frac{3 \cdot x}{4} + 15)}{3} + 20$

Schritt 4.2.3.1.3

Faktorisiere $3$ aus $- \frac{3 x}{4} + 15$ heraus.

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Schritt 4.2.3.1.3.1

Faktorisiere $3$ aus $- \frac{3 x}{4}$ heraus.

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 15) = - \frac{4 (3 (- \frac{x}{4}) + 15)}{3} + 20$

Schritt 4.2.3.1.3.2

Faktorisiere $3$ aus $15$ heraus.

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 15) = - \frac{4 (3 (- \frac{x}{4}) + 3 (5))}{3} + 20$

Schritt 4.2.3.1.3.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (- \frac{x}{4}) + 3 (5)$ heraus.

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 15) = - \frac{4 (3 (- \frac{x}{4} + 5))}{3} + 20$

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 15) = - \frac{4 \cdot (3 (- \frac{x}{4} + 5))}{3} + 20$

Schritt 4.2.3.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 15) = - \frac{12 (- \frac{x}{4} + 5)}{3} + 20$

Schritt 4.2.3.1.5

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 15) = - \frac{12 (- \frac{x}{4} + 5 \cdot \frac{4}{4})}{3} + 20$

Schritt 4.2.3.1.6

Kombiniere $5$ und $\frac{4}{4}$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 15) = - \frac{12 (- \frac{x}{4} + \frac{5 \cdot 4}{4})}{3} + 20$

Schritt 4.2.3.1.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 15) = - \frac{12 (\frac{- x + 5 \cdot 4}{4})}{3} + 20$

Schritt 4.2.3.1.8

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 15) = - \frac{12 (\frac{- x + 20}{4})}{3} + 20$

Schritt 4.2.3.2

Kombiniere $12$ und $\frac{- x + 20}{4}$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 15) = - \frac{\frac{12 (- x + 20)}{4}}{3} + 20$

Schritt 4.2.3.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.3.3.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{12 (- x + 20)}{4}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.3.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $12 (- x + 20)$ heraus.

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 15) = - \frac{\frac{4 (3 (- x + 20))}{4}}{3} + 20$

Schritt 4.2.3.3.1.2

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 15) = - \frac{\frac{4 (3 (- x + 20))}{4 (1)}}{3} + 20$

Schritt 4.2.3.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 15) = - \frac{\frac{4 (3 (- x + 20))}{4 \cdot 1}}{3} + 20$

Schritt 4.2.3.3.1.4

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 15) = - \frac{\frac{3 (- x + 20)}{1}}{3} + 20$

Schritt 4.2.3.3.2

Dividiere $3 (- x + 20)$ durch $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 15) = - \frac{3 (- x + 20)}{3} + 20$

Schritt 4.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 15) = - \frac{3 (- x + 20)}{3} + 20$

Schritt 4.2.3.4.2

Dividiere $- x + 20$ durch $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 15) = - (- x + 20) + 20$

Schritt 4.2.3.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 15) = x - 1 \cdot 20 + 20$

Schritt 4.2.3.6

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 4.2.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 15) = 1 x - 1 \cdot 20 + 20$

Schritt 4.2.3.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 15) = x - 1 \cdot 20 + 20$

Schritt 4.2.3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $20$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 15) = x - 20 + 20$

Schritt 4.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 20 + 20$ .

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Schritt 4.2.4.1

Addiere $- 20$ und $20$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 15) = x + 0$

Schritt 4.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 15) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (- \frac{4 x}{3} + 20)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \frac{4 x}{3} + 20) = - \frac{3}{4} \cdot (- \frac{4 x}{3} + 20) + 15$

Schritt 4.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{4 x}{3} + 20) = - \frac{3}{4} \cdot (- \frac{4 x}{3}) - \frac{3}{4} \cdot 20 + 15$

Schritt 4.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{4}$ in den Zähler.

$f (- \frac{4 x}{3} + 20) = \frac{- 3}{4} \cdot (- \frac{4 x}{3}) - \frac{3}{4} \cdot 20 + 15$

Schritt 4.3.3.2.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4 x}{3}$ in den Zähler.

$f (- \frac{4 x}{3} + 20) = \frac{- 3}{4} \cdot \frac{- 4 x}{3} - \frac{3}{4} \cdot 20 + 15$

Schritt 4.3.3.2.3

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$f (- \frac{4 x}{3} + 20) = \frac{3 (- 1)}{4} \cdot \frac{- 4 x}{3} - \frac{3}{4} \cdot 20 + 15$

Schritt 4.3.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{4 x}{3} + 20) = \frac{3 \cdot - 1}{4} \cdot \frac{- 4 x}{3} - \frac{3}{4} \cdot 20 + 15$

Schritt 4.3.3.2.5

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{4 x}{3} + 20) = \frac{- 1}{4} \cdot (- 4 x) - \frac{3}{4} \cdot 20 + 15$

Schritt 4.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.3.3.3.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x$ heraus.

$f (- \frac{4 x}{3} + 20) = \frac{- 1}{4} \cdot (4 (- x)) - \frac{3}{4} \cdot 20 + 15$

Schritt 4.3.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{4 x}{3} + 20) = \frac{- 1}{4} \cdot (4 (- x)) - \frac{3}{4} \cdot 20 + 15$

Schritt 4.3.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{4 x}{3} + 20) = - 1 (- x) - \frac{3}{4} \cdot 20 + 15$

Schritt 4.3.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{4 x}{3} + 20) = 1 x - \frac{3}{4} \cdot 20 + 15$

Schritt 4.3.3.5

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (- \frac{4 x}{3} + 20) = x - \frac{3}{4} \cdot 20 + 15$

Schritt 4.3.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.3.3.6.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{4}$ in den Zähler.

$f (- \frac{4 x}{3} + 20) = x + \frac{- 3}{4} \cdot 20 + 15$

Schritt 4.3.3.6.2

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$f (- \frac{4 x}{3} + 20) = x + \frac{- 3}{4} \cdot (4 (5)) + 15$

Schritt 4.3.3.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{4 x}{3} + 20) = x + \frac{- 3}{4} \cdot (4 \cdot 5) + 15$

Schritt 4.3.3.6.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{4 x}{3} + 20) = x - 3 \cdot 5 + 15$

Schritt 4.3.3.7

Mutltipliziere $- 3$ mit $5$ .

$f (- \frac{4 x}{3} + 20) = x - 15 + 15$

Schritt 4.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 15 + 15$ .

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Schritt 4.3.4.1

Addiere $- 15$ und $15$ .

$f (- \frac{4 x}{3} + 20) = x + 0$

Schritt 4.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (- \frac{4 x}{3} + 20) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - \frac{4 x}{3} + 20$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = - \frac{3}{4} x + 15$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{4 x}{3} + 20$