Trigonometrie Beispiele

$y = \frac{2}{x - 1} + 1$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{2}{y - 1} + 1$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{2}{y - 1} + 1 = x$ um.

$\frac{2}{y - 1} + 1 = x$

Schritt 2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{2}{y - 1} = x - 1$

Schritt 2.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y - 1, 1, 1$

Schritt 2.3.2

Entferne die Klammern.

$y - 1, 1, 1$

Schritt 2.3.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y - 1$

Schritt 2.4

Multipliziere jeden Term in $\frac{2}{y - 1} = x - 1$ mit $y - 1$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{2}{y - 1} = x - 1$ mit $y - 1$ .

$\frac{2}{y - 1} (y - 1) = x (y - 1) - (y - 1)$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 1$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{y - 1} (y - 1) = x (y - 1) - (y - 1)$

Schritt 2.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 = x (y - 1) - (y - 1)$

Schritt 2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 = x y + x \cdot - 1 - (y - 1)$

Schritt 2.4.3.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$2 = x y - 1 \cdot x - (y - 1)$

Schritt 2.4.3.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$2 = x y - x - (y - 1)$

Schritt 2.4.3.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$2 = x y - x - y - - 1$

Schritt 2.4.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$2 = x y - x - y + 1$

Schritt 2.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.5.1

Schreibe die Gleichung als $x y - x - y + 1 = 2$ um.

$x y - x - y + 1 = 2$

Schritt 2.5.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.5.2.1

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x y - y + 1 = 2 + x$

Schritt 2.5.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y - y = 2 + x - 1$

Schritt 2.5.2.3

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$x y - y = x + 1$

Schritt 2.5.3

Faktorisiere $y$ aus $x y - y$ heraus.

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Schritt 2.5.3.1

Faktorisiere $y$ aus $x y$ heraus.

$y x - y = x + 1$

Schritt 2.5.3.2

Faktorisiere $y$ aus $- y$ heraus.

$y x + y \cdot - 1 = x + 1$

Schritt 2.5.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y x + y \cdot - 1$ heraus.

$y (x - 1) = x + 1$

Schritt 2.5.4

Teile jeden Ausdruck in $y (x - 1) = x + 1$ durch $x - 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y (x - 1) = x + 1$ durch $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1} + \frac{1}{x - 1}$

Schritt 2.5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 2.5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1} + \frac{1}{x - 1}$

Schritt 2.5.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x}{x - 1} + \frac{1}{x - 1}$

Schritt 2.5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{x + 1}{x - 1}$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{2}{x - 1} + 1$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{(\frac{2}{x - 1} + 1) + 1}{(\frac{2}{x - 1} + 1) - 1}$

Schritt 4.2.3

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $x - 1$ .

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Schritt 4.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{2}{x - 1} + 1 + 1}{\frac{2}{x - 1} + 1 - 1}$ mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{\frac{2}{x - 1} + 1 + 1}{\frac{2}{x - 1} + 1 - 1}$

Schritt 4.2.3.2

Kombinieren.

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{(x - 1) (\frac{2}{x - 1} + 1 + 1)}{(x - 1) (\frac{2}{x - 1} + 1 - 1)}$

Schritt 4.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{(x - 1) (\frac{2}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{2}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Schritt 4.2.5

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 4.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 4.2.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{(x - 1) (\frac{2}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{2}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Schritt 4.2.5.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{2}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Schritt 4.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 4.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{2}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Schritt 4.2.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot 1}{2 + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Schritt 4.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.6.1

Mutltipliziere $x - 1$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 + x - 1 + (x - 1) \cdot 1}{2 + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Schritt 4.2.6.2

Mutltipliziere $x - 1$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 + x - 1 + x - 1}{2 + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Schritt 4.2.6.3

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{x + 1 + x - 1}{2 + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Schritt 4.2.6.4

Addiere $x$ und $x$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x + 1 - 1}{2 + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Schritt 4.2.6.5

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x + 0}{2 + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Schritt 4.2.6.6

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{2 + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Schritt 4.2.7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.7.1

Mutltipliziere $x - 1$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{2 + x - 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Schritt 4.2.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{2 + x - 1 + x \cdot - 1 - 1 \cdot - 1}$

Schritt 4.2.7.3

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{2 + x - 1 - 1 \cdot x - 1 \cdot - 1}$

Schritt 4.2.7.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{2 + x - 1 - 1 \cdot x + 1}$

Schritt 4.2.7.5

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{2 + x - 1 - x + 1}$

Schritt 4.2.7.6

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{x + 1 - x + 1}$

Schritt 4.2.7.7

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{0 + 1 + 1}$

Schritt 4.2.7.8

Addiere $0$ und $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{1 + 1}$

Schritt 4.2.7.9

Addiere $1$ und $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 4.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 4.2.8.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{x + 1}{x - 1})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2}{(\frac{x + 1}{x - 1}) - 1} + 1$

Schritt 4.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.3.1.1

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1}{x - 1} - 1 \cdot \frac{x - 1}{x - 1}} + 1$

Schritt 4.3.3.1.2

Kombiniere $- 1$ und $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1}{x - 1} + \frac{- (x - 1)}{x - 1}} + 1$

Schritt 4.3.3.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1 - (x - 1)}{x - 1}} + 1$

Schritt 4.3.3.1.4

Schreibe $\frac{x + 1 - (x - 1)}{x - 1}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.3.3.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1 - x + 1}{x - 1}} + 1$

Schritt 4.3.3.1.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1 - x + 1}{x - 1}} + 1$

Schritt 4.3.3.1.4.3

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{0 + 1 + 1}{x - 1}} + 1$

Schritt 4.3.3.1.4.4

Addiere $0$ und $1$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{1 + 1}{x - 1}} + 1$

Schritt 4.3.3.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{2}{x - 1}} + 1$

Schritt 4.3.3.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = 2 (\frac{x - 1}{2}) + 1$

Schritt 4.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = 2 (\frac{x - 1}{2}) + 1$

Schritt 4.3.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = x - 1 + 1$

Schritt 4.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 1 + 1$ .

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Schritt 4.3.4.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = x + 0$

Schritt 4.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{2}{x - 1} + 1$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$