Trigonometrie Beispiele

$y = \frac{2}{3 x + 4}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{2}{3 y + 4}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{2}{3 y + 4} = x$ um.

$\frac{2}{3 y + 4} = x$

Schritt 2.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$3 y + 4, 1$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$3 y + 4, 1$

Schritt 2.2.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$3 y + 4$

Schritt 2.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{2}{3 y + 4} = x$ mit $3 y + 4$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{2}{3 y + 4} = x$ mit $3 y + 4$ .

$\frac{2}{3 y + 4} (3 y + 4) = x (3 y + 4)$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 y + 4$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{3 y + 4} (3 y + 4) = x (3 y + 4)$

Schritt 2.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 = x (3 y + 4)$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 = x (3 y) + x \cdot 4$

Schritt 2.3.3.2

Stelle um.

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Schritt 2.3.3.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 = 3 x y + x \cdot 4$

Schritt 2.3.3.2.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$2 = 3 x y + 4 x$

Schritt 2.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Schreibe die Gleichung als $3 x y + 4 x = 2$ um.

$3 x y + 4 x = 2$

Schritt 2.4.2

Subtrahiere $4 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x y = 2 - 4 x$

Schritt 2.4.3

Teile jeden Ausdruck in $3 x y = 2 - 4 x$ durch $3 x$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x y = 2 - 4 x$ durch $3 x$ .

$\frac{3 x y}{3 x} = \frac{2}{3 x} + \frac{- 4 x}{3 x}$

Schritt 2.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x y}{3 x} = \frac{2}{3 x} + \frac{- 4 x}{3 x}$

Schritt 2.4.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x y}{x} = \frac{2}{3 x} + \frac{- 4 x}{3 x}$

Schritt 2.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.4.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y}{x} = \frac{2}{3 x} + \frac{- 4 x}{3 x}$

Schritt 2.4.3.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{2}{3 x} + \frac{- 4 x}{3 x}$

Schritt 2.4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.4.3.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2}{3 x} + \frac{- 4 x}{3 x}$

Schritt 2.4.3.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{2}{3 x} + \frac{- 4}{3}$

Schritt 2.4.3.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{2}{3 x} - \frac{4}{3}$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{2}{3 x} - \frac{4}{3}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{2}{3 x} - \frac{4}{3}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{2}{3 x + 4}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{2}{3 x + 4})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3 x + 4}) = \frac{2}{3 (\frac{2}{3 x + 4})} - \frac{4}{3}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.1

Kombiniere $3$ und $\frac{2}{3 x + 4}$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3 x + 4}) = \frac{2}{\frac{3 \cdot 2}{3 x + 4}} - \frac{4}{3}$

Schritt 4.2.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3 x + 4}) = \frac{2}{\frac{6}{3 x + 4}} - \frac{4}{3}$

Schritt 4.2.3.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{2}{3 x + 4}) = 2 (\frac{3 x + 4}{6}) - \frac{4}{3}$

Schritt 4.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{2}{3 x + 4}) = 2 (\frac{3 x + 4}{2 (3)}) - \frac{4}{3}$

Schritt 4.2.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{2}{3 x + 4}) = 2 (\frac{3 x + 4}{2 \cdot 3}) - \frac{4}{3}$

Schritt 4.2.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{2}{3 x + 4}) = \frac{3 x + 4}{3} - \frac{4}{3}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.2.4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{2}{3 x + 4}) = \frac{3 x + 4 - 4}{3}$

Schritt 4.2.4.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3 x + 4 - 4$ .

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Schritt 4.2.4.2.1

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3 x + 4}) = \frac{3 x + 0}{3}$

Schritt 4.2.4.2.2

Addiere $3 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3 x + 4}) = \frac{3 x}{3}$

Schritt 4.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{2}{3 x + 4}) = \frac{3 x}{3}$

Schritt 4.2.4.3.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3 x + 4}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{2}{3 x} - \frac{4}{3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{2}{3 x} - \frac{4}{3}) = \frac{2}{3 (\frac{2}{3 x} - \frac{4}{3}) + 4}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{2}{3 x} - \frac{4}{3}) = \frac{2}{3 (\frac{2}{3 x}) + 3 (- \frac{4}{3}) + 4}$

Schritt 4.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$f (\frac{2}{3 x} - \frac{4}{3}) = \frac{2}{3 (\frac{2}{3 (x)}) + 3 (- \frac{4}{3}) + 4}$

Schritt 4.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2}{3 x} - \frac{4}{3}) = \frac{2}{3 (\frac{2}{3 x}) + 3 (- \frac{4}{3}) + 4}$

Schritt 4.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2}{3 x} - \frac{4}{3}) = \frac{2}{\frac{2}{x} + 3 (- \frac{4}{3}) + 4}$

Schritt 4.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.3.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4}{3}$ in den Zähler.

$f (\frac{2}{3 x} - \frac{4}{3}) = \frac{2}{\frac{2}{x} + 3 (\frac{- 4}{3}) + 4}$

Schritt 4.3.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2}{3 x} - \frac{4}{3}) = \frac{2}{\frac{2}{x} + 3 (\frac{- 4}{3}) + 4}$

Schritt 4.3.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2}{3 x} - \frac{4}{3}) = \frac{2}{\frac{2}{x} - 4 + 4}$

Schritt 4.3.3.4

Addiere $- 4$ und $4$ .

$f (\frac{2}{3 x} - \frac{4}{3}) = \frac{2}{\frac{2}{x} + 0}$

Schritt 4.3.3.5

Addiere $\frac{2}{x}$ und $0$ .

$f (\frac{2}{3 x} - \frac{4}{3}) = \frac{2}{\frac{2}{x}}$

Schritt 4.3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{2}{3 x} - \frac{4}{3}) = 2 (\frac{x}{2})$

Schritt 4.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2}{3 x} - \frac{4}{3}) = 2 (\frac{x}{2})$

Schritt 4.3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2}{3 x} - \frac{4}{3}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{2}{3 x} - \frac{4}{3}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{2}{3 x + 4}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2}{3 x} - \frac{4}{3}$