Trigonometrie Beispiele

$y = \frac{2}{3} x + 3$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{2}{3} y + 3$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{2}{3} y + 3 = x$ um.

$\frac{2}{3} y + 3 = x$

Schritt 2.2

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $y$ .

$\frac{2 y}{3} + 3 = x$

Schritt 2.3

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{2 y}{3} = x - 3$

Schritt 2.4

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 y}{3} = \frac{3}{2} (x - 3)$

Schritt 2.5

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1.1

Vereinfache $\frac{3}{2} \cdot \frac{2 y}{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 y}{3} = \frac{3}{2} (x - 3)$

Schritt 2.5.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (2 y) = \frac{3}{2} (x - 3)$

Schritt 2.5.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y$ heraus.

$\frac{1}{2} (2 (y)) = \frac{3}{2} (x - 3)$

Schritt 2.5.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (2 y) = \frac{3}{2} (x - 3)$

Schritt 2.5.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{3}{2} (x - 3)$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.1

Vereinfache $\frac{3}{2} (x - 3)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{3}{2} x + \frac{3}{2} \cdot - 3$

Schritt 2.5.2.1.2

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot - 3$

Schritt 2.5.2.1.3

Multipliziere $\frac{3}{2} \cdot - 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.1.3.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $- 3$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3 \cdot - 3}{2}$

Schritt 2.5.2.1.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{- 9}{2}$

Schritt 2.5.2.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{9}{2}$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2} - \frac{9}{2}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2} - \frac{9}{2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{2}{3} x + 3$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{2}{3} x + 3)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x + 3) = \frac{3 (\frac{2}{3} x + 3)}{2} - \frac{9}{2}$

Schritt 4.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x + 3) = \frac{3 (\frac{2}{3} x + 3) - 9}{2}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x + 3) = \frac{3 (\frac{2 x}{3} + 3) - 9}{2}$

Schritt 4.2.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x + 3) = \frac{3 (\frac{2 x}{3}) + 3 \cdot 3 - 9}{2}$

Schritt 4.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x + 3) = \frac{3 (\frac{2 x}{3}) + 3 \cdot 3 - 9}{2}$

Schritt 4.2.4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x + 3) = \frac{2 x + 3 \cdot 3 - 9}{2}$

Schritt 4.2.4.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x + 3) = \frac{2 x + 9 - 9}{2}$

Schritt 4.2.5

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x + 9 - 9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.5.1.1

Subtrahiere $9$ von $9$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x + 3) = \frac{2 x + 0}{2}$

Schritt 4.2.5.1.2

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x + 3) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 4.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x + 3) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 4.2.5.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x + 3) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{3 x}{2} - \frac{9}{2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{3 x}{2} - \frac{9}{2}) = \frac{2}{3} \cdot (\frac{3 x}{2} - \frac{9}{2}) + 3$

Schritt 4.3.3

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{3 x}{2} - \frac{9}{2}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2} + \frac{2}{3} \cdot (- \frac{9}{2}) + 3$

Schritt 4.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 x}{2} - \frac{9}{2}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2} + \frac{2}{3} \cdot (- \frac{9}{2}) + 3$

Schritt 4.3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 x}{2} - \frac{9}{2}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x) + \frac{2}{3} \cdot (- \frac{9}{2}) + 3$

Schritt 4.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.3.3.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$f (\frac{3 x}{2} - \frac{9}{2}) = \frac{1}{3} \cdot (3 (x)) + \frac{2}{3} \cdot (- \frac{9}{2}) + 3$

Schritt 4.3.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 x}{2} - \frac{9}{2}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x) + \frac{2}{3} \cdot (- \frac{9}{2}) + 3$

Schritt 4.3.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 x}{2} - \frac{9}{2}) = x + \frac{2}{3} \cdot (- \frac{9}{2}) + 3$

Schritt 4.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.3.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{9}{2}$ in den Zähler.

$f (\frac{3 x}{2} - \frac{9}{2}) = x + \frac{2}{3} \cdot \frac{- 9}{2} + 3$

Schritt 4.3.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 x}{2} - \frac{9}{2}) = x + \frac{2}{3} \cdot \frac{- 9}{2} + 3$

Schritt 4.3.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 x}{2} - \frac{9}{2}) = x + \frac{1}{3} \cdot - 9 + 3$

Schritt 4.3.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.3.5.1

Faktorisiere $3$ aus $- 9$ heraus.

$f (\frac{3 x}{2} - \frac{9}{2}) = x + \frac{1}{3} \cdot (3 (- 3)) + 3$

Schritt 4.3.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 x}{2} - \frac{9}{2}) = x + \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 3) + 3$

Schritt 4.3.3.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 x}{2} - \frac{9}{2}) = x - 3 + 3$

Schritt 4.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 3 + 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.4.1

Addiere $- 3$ und $3$ .

$f (\frac{3 x}{2} - \frac{9}{2}) = x + 0$

Schritt 4.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{3 x}{2} - \frac{9}{2}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2} - \frac{9}{2}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{2}{3} x + 3$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2} - \frac{9}{2}$