Trigonometrie Beispiele

$y = \frac{1}{x - 2} - 3$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{1}{y - 2} - 3$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{y - 2} - 3 = x$ um.

$\frac{1}{y - 2} - 3 = x$

Schritt 2.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{y - 2} = x + 3$

Schritt 2.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y - 2, 1, 1$

Schritt 2.3.2

Entferne die Klammern.

$y - 2, 1, 1$

Schritt 2.3.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y - 2$

Schritt 2.4

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{y - 2} = x + 3$ mit $y - 2$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{y - 2} = x + 3$ mit $y - 2$ .

$\frac{1}{y - 2} (y - 2) = x (y - 2) + 3 (y - 2)$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 2$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y - 2} (y - 2) = x (y - 2) + 3 (y - 2)$

Schritt 2.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = x (y - 2) + 3 (y - 2)$

Schritt 2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = x y + x \cdot - 2 + 3 (y - 2)$

Schritt 2.4.3.1.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$1 = x y - 2 \cdot x + 3 (y - 2)$

Schritt 2.4.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = x y - 2 x + 3 y + 3 \cdot - 2$

Schritt 2.4.3.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$1 = x y - 2 x + 3 y - 6$

Schritt 2.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.5.1

Schreibe die Gleichung als $x y - 2 x + 3 y - 6 = 1$ um.

$x y - 2 x + 3 y - 6 = 1$

Schritt 2.5.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.5.2.1

Addiere $2 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x y + 3 y - 6 = 1 + 2 x$

Schritt 2.5.2.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x y + 3 y = 1 + 2 x + 6$

Schritt 2.5.2.3

Addiere $1$ und $6$ .

$x y + 3 y = 2 x + 7$

Schritt 2.5.3

Faktorisiere $y$ aus $x y + 3 y$ heraus.

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Schritt 2.5.3.1

Faktorisiere $y$ aus $x y$ heraus.

$y x + 3 y = 2 x + 7$

Schritt 2.5.3.2

Faktorisiere $y$ aus $3 y$ heraus.

$y x + y \cdot 3 = 2 x + 7$

Schritt 2.5.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y x + y \cdot 3$ heraus.

$y (x + 3) = 2 x + 7$

Schritt 2.5.4

Teile jeden Ausdruck in $y (x + 3) = 2 x + 7$ durch $x + 3$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y (x + 3) = 2 x + 7$ durch $x + 3$ .

$\frac{y (x + 3)}{x + 3} = \frac{2 x}{x + 3} + \frac{7}{x + 3}$

Schritt 2.5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 3$ .

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Schritt 2.5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (x + 3)}{x + 3} = \frac{2 x}{x + 3} + \frac{7}{x + 3}$

Schritt 2.5.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{2 x}{x + 3} + \frac{7}{x + 3}$

Schritt 2.5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{2 x + 7}{x + 3}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 7}{x + 3}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 7}{x + 3}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{1}{x - 2} - 3$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{2 (\frac{1}{x - 2} - 3) + 7}{(\frac{1}{x - 2} - 3) + 3}$

Schritt 4.2.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 2$ .

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Schritt 4.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{2 (\frac{1}{x - 2} - 3) + 7}{\frac{1}{x - 2} - 3 + 3}$ mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{x - 2}{x - 2} \cdot \frac{2 (\frac{1}{x - 2} - 3) + 7}{\frac{1}{x - 2} - 3 + 3}$

Schritt 4.2.3.2

Kombinieren.

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1}{x - 2} - 3) + 7)}{(x - 2) (\frac{1}{x - 2} - 3 + 3)}$

Schritt 4.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1}{x - 2} - 3)) + (x - 2) \cdot 7}{(x - 2) (\frac{1}{x - 2}) + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Schritt 4.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 2$ .

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Schritt 4.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1}{x - 2} - 3)) + (x - 2) \cdot 7}{(x - 2) (\frac{1}{x - 2}) + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Schritt 4.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1}{x - 2} - 3)) + (x - 2) \cdot 7}{1 + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Schritt 4.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.6.1

Faktorisiere $x - 2$ aus $(x - 2) \cdot 2 (\frac{1}{x - 2} - 3) + (x - 2) \cdot 7$ heraus.

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Schritt 4.2.6.1.1

Faktorisiere $x - 2$ aus $(x - 2) \cdot 2 (\frac{1}{x - 2} - 3)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1}{x - 2} - 3)) + (x - 2) \cdot 7}{1 + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Schritt 4.2.6.1.2

Faktorisiere $x - 2$ aus $(x - 2) \cdot 7$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1}{x - 2} - 3)) + (x - 2) (7)}{1 + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Schritt 4.2.6.1.3

Faktorisiere $x - 2$ aus $(x - 2) (2 (\frac{1}{x - 2} - 3)) + (x - 2) (7)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1}{x - 2} - 3) + 7)}{1 + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Schritt 4.2.6.2

Um $- 3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1}{x - 2} - 3 \cdot \frac{x - 2}{x - 2}) + 7)}{1 + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Schritt 4.2.6.3

Kombiniere $- 3$ und $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1}{x - 2} + \frac{- 3 (x - 2)}{x - 2}) + 7)}{1 + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Schritt 4.2.6.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1 - 3 (x - 2)}{x - 2}) + 7)}{1 + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Schritt 4.2.6.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.6.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1 - 3 x - 3 \cdot - 2}{x - 2}) + 7)}{1 + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Schritt 4.2.6.5.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1 - 3 x + 6}{x - 2}) + 7)}{1 + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Schritt 4.2.6.5.3

Addiere $1$ und $6$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{- 3 x + 7}{x - 2}) + 7)}{1 + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Schritt 4.2.6.6

Kombiniere $2$ und $\frac{- 3 x + 7}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (\frac{2 (- 3 x + 7)}{x - 2} + 7)}{1 + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Schritt 4.2.6.7

Um $7$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (\frac{2 (- 3 x + 7)}{x - 2} + \frac{7 (x - 2)}{x - 2})}{1 + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Schritt 4.2.6.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (\frac{2 (- 3 x + 7) + 7 (x - 2)}{x - 2})}{1 + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Schritt 4.2.6.9

Stelle die Terme um.

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (\frac{7 (x - 2) + 2 (- 3 x + 7)}{x - 2})}{1 + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Schritt 4.2.6.10

Schreibe $\frac{7 (x - 2) + 2 (- 3 x + 7)}{x - 2}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.2.6.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (\frac{7 x + 7 \cdot - 2 + 2 (- 3 x + 7)}{x - 2})}{1 + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Schritt 4.2.6.10.2

Mutltipliziere $7$ mit $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (\frac{7 x - 14 + 2 (- 3 x + 7)}{x - 2})}{1 + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Schritt 4.2.6.10.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (\frac{7 x - 14 + 2 (- 3 x) + 2 \cdot 7}{x - 2})}{1 + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Schritt 4.2.6.10.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (\frac{7 x - 14 - 6 x + 2 \cdot 7}{x - 2})}{1 + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Schritt 4.2.6.10.5

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (\frac{7 x - 14 - 6 x + 14}{x - 2})}{1 + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Schritt 4.2.6.10.6

Subtrahiere $6 x$ von $7 x$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (\frac{x - 14 + 14}{x - 2})}{1 + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Schritt 4.2.6.10.7

Addiere $- 14$ und $14$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (\frac{x + 0}{x - 2})}{1 + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Schritt 4.2.6.10.8

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (\frac{x}{x - 2})}{1 + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Schritt 4.2.7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (\frac{x}{x - 2})}{1 + x \cdot - 3 - 2 \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Schritt 4.2.7.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (\frac{x}{x - 2})}{1 - 3 \cdot x - 2 \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Schritt 4.2.7.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 3$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (\frac{x}{x - 2})}{1 - 3 \cdot x + 6 + (x - 2) \cdot 3}$

Schritt 4.2.7.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (\frac{x}{x - 2})}{1 - 3 x + 6 + x \cdot 3 - 2 \cdot 3}$

Schritt 4.2.7.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (\frac{x}{x - 2})}{1 - 3 x + 6 + 3 \cdot x - 2 \cdot 3}$

Schritt 4.2.7.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (\frac{x}{x - 2})}{1 - 3 x + 6 + 3 \cdot x - 6}$

Schritt 4.2.7.7

Addiere $1$ und $6$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (\frac{x}{x - 2})}{- 3 x + 7 + 3 x - 6}$

Schritt 4.2.7.8

Addiere $- 3 x$ und $3 x$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (\frac{x}{x - 2})}{0 + 7 - 6}$

Schritt 4.2.7.9

Addiere $0$ und $7$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (\frac{x}{x - 2})}{7 - 6}$

Schritt 4.2.7.10

Subtrahiere $6$ von $7$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (\frac{x}{x - 2})}{1}$

Schritt 4.2.8

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.8.1

Dividiere $(x - 2) \frac{x}{x - 2}$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = (x - 2) (\frac{x}{x - 2})$

Schritt 4.2.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 2$ .

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Schritt 4.2.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = (x - 2) (\frac{x}{x - 2})$

Schritt 4.2.8.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{2 x + 7}{x + 3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{2 x + 7}{x + 3}) = \frac{1}{(\frac{2 x + 7}{x + 3}) - 2} - 3$

Schritt 4.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.3.1.1

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$f (\frac{2 x + 7}{x + 3}) = \frac{1}{\frac{2 x + 7}{x + 3} - 2 \cdot \frac{x + 3}{x + 3}} - 3$

Schritt 4.3.3.1.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$f (\frac{2 x + 7}{x + 3}) = \frac{1}{\frac{2 x + 7}{x + 3} + \frac{- 2 (x + 3)}{x + 3}} - 3$

Schritt 4.3.3.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{2 x + 7}{x + 3}) = \frac{1}{\frac{2 x + 7 - 2 (x + 3)}{x + 3}} - 3$

Schritt 4.3.3.1.4

Schreibe $\frac{2 x + 7 - 2 (x + 3)}{x + 3}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.3.3.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{2 x + 7}{x + 3}) = \frac{1}{\frac{2 x + 7 - 2 x - 2 \cdot 3}{x + 3}} - 3$

Schritt 4.3.3.1.4.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$f (\frac{2 x + 7}{x + 3}) = \frac{1}{\frac{2 x + 7 - 2 x - 6}{x + 3}} - 3$

Schritt 4.3.3.1.4.3

Subtrahiere $2 x$ von $2 x$ .

$f (\frac{2 x + 7}{x + 3}) = \frac{1}{\frac{0 + 7 - 6}{x + 3}} - 3$

Schritt 4.3.3.1.4.4

Addiere $0$ und $7$ .

$f (\frac{2 x + 7}{x + 3}) = \frac{1}{\frac{7 - 6}{x + 3}} - 3$

Schritt 4.3.3.1.4.5

Subtrahiere $6$ von $7$ .

$f (\frac{2 x + 7}{x + 3}) = \frac{1}{\frac{1}{x + 3}} - 3$

Schritt 4.3.3.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{2 x + 7}{x + 3}) = 1 (x + 3) - 3$

Schritt 4.3.3.3

Mutltipliziere $x + 3$ mit $1$ .

$f (\frac{2 x + 7}{x + 3}) = x + 3 - 3$

Schritt 4.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 3 - 3$ .

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Schritt 4.3.4.1

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$f (\frac{2 x + 7}{x + 3}) = x + 0$

Schritt 4.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{2 x + 7}{x + 3}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 7}{x + 3}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{1}{x - 2} - 3$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 7}{x + 3}$