Trigonometrie Beispiele

$y = \log_{2} (2 x - 3)$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \log_{2} (2 y - 3)$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\log_{2} (2 y - 3) = x$ um.

$\log_{2} (2 y - 3) = x$

Schritt 2.2

Schreibe $\log_{2} (2 y - 3) = x$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$2^{x} = 2 y - 3$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Schreibe die Gleichung als $2 y - 3 = 2^{x}$ um.

$2 y - 3 = 2^{x}$

Schritt 2.3.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 y = 2^{x} + 3$

Schritt 2.3.3

Teile jeden Ausdruck in $2 y = 2^{x} + 3$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = 2^{x} + 3$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{2^{x}}{2} + \frac{3}{2}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{2^{x}}{2} + \frac{3}{2}$

Schritt 2.3.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{2^{x}}{2} + \frac{3}{2}$

Schritt 2.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2^{x}$ und $2$ .

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Schritt 2.3.3.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2^{x}$ heraus.

$y = \frac{2 \cdot 2^{x - 1}}{2} + \frac{3}{2}$

Schritt 2.3.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.3.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y = \frac{2 \cdot 2^{x - 1}}{2 (1)} + \frac{3}{2}$

Schritt 2.3.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2 \cdot 2^{x - 1}}{2 \cdot 1} + \frac{3}{2}$

Schritt 2.3.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{2^{x - 1}}{1} + \frac{3}{2}$

Schritt 2.3.3.3.1.2.4

Dividiere $2^{x - 1}$ durch $1$ .

$y = 2^{x - 1} + \frac{3}{2}$

Schritt 2.3.3.3.2

Um $2^{x - 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = 2^{x - 1} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}$

Schritt 2.3.3.3.3

Kombiniere $2^{x - 1}$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{2^{x - 1} \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}$

Schritt 2.3.3.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{2^{x - 1} \cdot 2 + 3}{2}$

Schritt 2.3.3.3.5

Multipliziere $2^{x - 1}$ mit $2$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.3.3.5.1

Mutltipliziere $2^{x - 1}$ mit $2$ .

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Schritt 2.3.3.3.5.1.1

Potenziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{2^{x - 1} \cdot 2^{1} + 3}{2}$

Schritt 2.3.3.3.5.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{2^{x - 1 + 1} + 3}{2}$

Schritt 2.3.3.3.5.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 1 + 1$ .

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Schritt 2.3.3.3.5.2.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$y = \frac{2^{x + 0} + 3}{2}$

Schritt 2.3.3.3.5.2.2

Addiere $x$ und $0$ .

$y = \frac{2^{x} + 3}{2}$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{2^{x} + 3}{2}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{2^{x} + 3}{2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \log_{2} (2 x - 3)$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\log_{2} (2 x - 3))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (2 x - 3)) = \frac{2^{\log_{2} (2 x - 3)} + 3}{2}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.1

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f^{- 1} (\log_{2} (2 x - 3)) = \frac{2 x - 3 + 3}{2}$

Schritt 4.2.3.2

Addiere $- 3$ und $3$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (2 x - 3)) = \frac{2 x + 0}{2}$

Schritt 4.2.3.3

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (2 x - 3)) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\log_{2} (2 x - 3)) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 4.2.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (2 x - 3)) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{2^{x} + 3}{2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = \log_{2} (2 (\frac{2^{x} + 3}{2}) - 3)$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = \log_{2} (2 (\frac{2^{x} + 3}{2}) - 3)$

Schritt 4.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = \log_{2} (2^{x} + 3 - 3)$

Schritt 4.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2^{x} + 3 - 3$ .

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Schritt 4.3.4.1

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = \log_{2} (2^{x} + 0)$

Schritt 4.3.4.2

Addiere $2^{x}$ und $0$ .

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = \log_{2} (2^{x})$

Schritt 4.3.5

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $x$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = x \log_{2} (2)$

Schritt 4.3.6

Die logarithmische Basis $2$ von $2$ ist $1$ .

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = x \cdot 1$

Schritt 4.3.7

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{2^{x} + 3}{2}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \log_{2} (2 x - 3)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2^{x} + 3}{2}$