Trigonometrie Beispiele

$x = - 3 \cos (2 y)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $- 3 \cos (2 y) = x$ um.

$- 3 \cos (2 y) = x$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $- 3 \cos (2 y) = x$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 \cos (2 y) = x$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 \cos (2 y)}{- 3} = \frac{x}{- 3}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 \cos (2 y)}{- 3} = \frac{x}{- 3}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $\cos (2 y)$ durch $1$ .

$\cos (2 y) = \frac{x}{- 3}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos (2 y) = - \frac{x}{3}$

Schritt 3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$2 y = \arccos (- \frac{x}{3})$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $2 y = \arccos (- \frac{x}{3})$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = \arccos (- \frac{x}{3})$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2}$

Schritt 5

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{\arccos (- \frac{y}{3})}{2}$

Schritt 6

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{\arccos (- \frac{y}{3})}{2} = x$ um.

$\frac{\arccos (- \frac{y}{3})}{2} = x$

Schritt 6.2

Multipliziere beide Seiten mit $2$ .

$\frac{\arccos (- \frac{y}{3})}{2} \cdot 2 = x \cdot 2$

Schritt 6.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\arccos (- \frac{y}{3})}{2} \cdot 2 = x \cdot 2$

Schritt 6.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\arccos (- \frac{y}{3}) = x \cdot 2$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\arccos (- \frac{y}{3}) = 2 x$

Schritt 6.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 6.4.1

Wende den inversen Arcuskosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Arcuskosinus herauszuziehen.

$- \frac{y}{3} = \cos (2 x)$

Schritt 6.4.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 3$ .

$- 3 (- \frac{y}{3}) = - 3 \cos (2 x)$

Schritt 6.4.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.4.3.1

Vereinfache $- 3 (- \frac{y}{3})$ .

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Schritt 6.4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.4.3.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{y}{3}$ in den Zähler.

$- 3 \frac{- y}{3} = - 3 \cos (2 x)$

Schritt 6.4.3.1.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$3 (- 1) \frac{- y}{3} = - 3 \cos (2 x)$

Schritt 6.4.3.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \cdot - 1 \frac{- y}{3} = - 3 \cos (2 x)$

Schritt 6.4.3.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- - y = - 3 \cos (2 x)$

Schritt 6.4.3.1.2

Multipliziere.

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Schritt 6.4.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 y = - 3 \cos (2 x)$

Schritt 6.4.3.1.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y = - 3 \cos (2 x)$

Schritt 7

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = - 3 \cos (2 x)$

Schritt 8

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - 3 \cos (2 x)$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2}$ ist.

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Schritt 8.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 8.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 8.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 8.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2}) = - 3 \cos (2 (\frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2}))$

Schritt 8.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2}) = - 3 \cos (2 (\frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2}))$

Schritt 8.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2}) = - 3 \cos (\arccos (- \frac{x}{3}))$

Schritt 8.2.4

Die Funktionen Kosinus und Arkuskosinus sind Inverse.

$f^{- 1} (\frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2}) = - 3 (- \frac{x}{3})$

Schritt 8.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.2.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x}{3}$ in den Zähler.

$f^{- 1} (\frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2}) = - 3 \frac{- x}{3}$

Schritt 8.2.5.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2}) = 3 (- 1) (\frac{- x}{3})$

Schritt 8.2.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2}) = 3 \cdot (- 1 \frac{- x}{3})$

Schritt 8.2.5.4

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2}) = - 1 (- x)$

Schritt 8.2.6

Multipliziere.

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Schritt 8.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2}) = 1 x$

Schritt 8.2.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2}) = x$

Schritt 8.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 8.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 8.3.2

Berechne $f (- 3 \cos (2 x))$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- 3 \cos (2 x)) = \frac{\arccos (- \frac{- 3 \cos (2 x)}{3})}{2}$

Schritt 8.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $3$ .

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Schritt 8.3.3.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 \cos (2 x)$ heraus.

$f (- 3 \cos (2 x)) = \frac{\arccos (- \frac{3 (- \cos (2 x))}{3})}{2}$

Schritt 8.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$f (- 3 \cos (2 x)) = \frac{\arccos (- \frac{3 (- \cos (2 x))}{3 (1)})}{2}$

Schritt 8.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 3 \cos (2 x)) = \frac{\arccos (- \frac{3 (- \cos (2 x))}{3 \cdot 1})}{2}$

Schritt 8.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- 3 \cos (2 x)) = \frac{\arccos (- \frac{- \cos (2 x)}{1})}{2}$

Schritt 8.3.3.2.4

Dividiere $- \cos (2 x)$ durch $1$ .

$f (- 3 \cos (2 x)) = \frac{\arccos (\cos (2 x))}{2}$

Schritt 8.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - 3 \cos (2 x)$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2}$ .

$f^{- 1} (x) = - 3 \cos (2 x)$