Trigonometrie Beispiele

$y = \frac{1}{3^{x}}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{1}{3^{y}}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{3^{y}} = x$ um.

$\frac{1}{3^{y}} = x$

Schritt 2.2

Multipliziere beide Seiten mit $3^{y}$ .

$\frac{1}{3^{y}} \cdot 3^{y} = x \cdot 3^{y}$

Schritt 2.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3^{y}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3^{y}} \cdot 3^{y} = x \cdot 3^{y}$

Schritt 2.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = x \cdot 3^{y}$

Schritt 2.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.4.1

Schreibe die Gleichung als $x \cdot 3^{y} = 1$ um.

$x \cdot 3^{y} = 1$

Schritt 2.4.2

Teile jeden Ausdruck in $x \cdot 3^{y} = 1$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $x \cdot 3^{y} = 1$ durch $x$ .

$\frac{x \cdot 3^{y}}{x} = \frac{1}{x}$

Schritt 2.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \cdot 3^{y}}{x} = \frac{1}{x}$

Schritt 2.4.2.2.1.2

Dividiere $3^{y}$ durch $1$ .

$3^{y} = \frac{1}{x}$

Schritt 2.4.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (3^{y}) = \ln (\frac{1}{x})$

Schritt 2.4.4

Zerlege $\ln (3^{y})$ durch Herausziehen von $y$ aus dem Logarithmus.

$y \ln (3) = \ln (\frac{1}{x})$

Schritt 2.4.5

Teile jeden Ausdruck in $y \ln (3) = \ln (\frac{1}{x})$ durch $\ln (3)$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.5.1

Teile jeden Ausdruck in $y \ln (3) = \ln (\frac{1}{x})$ durch $\ln (3)$ .

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}$

Schritt 2.4.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (3)$ .

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Schritt 2.4.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}$

Schritt 2.4.5.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{1}{3^{x}}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{1}{3^{x}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3^{x}}) = \frac{\ln (\frac{1}{\frac{1}{3^{x}}})}{\ln (3)}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{1}{3^{x}}) = \frac{\ln (1 \cdot 3^{x})}{\ln (3)}$

Schritt 4.2.3.2

Mutltipliziere $3^{x}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3^{x}}) = \frac{\ln (3^{x})}{\ln (3)}$

Schritt 4.2.4

Zerlege $\ln (3^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$f^{- 1} (\frac{1}{3^{x}}) = \frac{x \ln (3)}{\ln (3)}$

Schritt 4.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (3)$ .

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Schritt 4.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{1}{3^{x}}) = \frac{x \ln (3)}{\ln (3)}$

Schritt 4.2.5.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3^{x}}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}) = \frac{1}{3^{\frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}}}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.3.1

Nutze die Änderung der Basis-Regel $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}) = \frac{1}{3^{\log_{3} (\frac{1}{x})}}$

Schritt 4.3.3.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (\frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Schritt 4.3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}) = 1 x$

Schritt 4.3.5

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (\frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{1}{3^{x}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}$