Trigonometrie Beispiele

$y = - \frac{1}{4} \cdot \sin (\frac{x}{4})$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = - \frac{1}{4} \cdot \sin (\frac{y}{4})$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{1}{4} \cdot \sin (\frac{y}{4}) = x$ um.

$- \frac{1}{4} \cdot \sin (\frac{y}{4}) = x$

Schritt 2.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 4$ .

$- 4 (- \frac{1}{4} \sin (\frac{y}{4})) = - 4 x$

Schritt 2.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $- 4 (- \frac{1}{4} \sin (\frac{y}{4}))$ .

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Schritt 2.3.1.1

Kombiniere $\sin (\frac{y}{4})$ und $\frac{1}{4}$ .

$- 4 (- \frac{\sin (\frac{y}{4})}{4}) = - 4 x$

Schritt 2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.3.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sin (\frac{y}{4})}{4}$ in den Zähler.

$- 4 \frac{- \sin (\frac{y}{4})}{4} = - 4 x$

Schritt 2.3.1.2.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$4 (- 1) \frac{- \sin (\frac{y}{4})}{4} = - 4 x$

Schritt 2.3.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \cdot - 1 \frac{- \sin (\frac{y}{4})}{4} = - 4 x$

Schritt 2.3.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$- - \sin (\frac{y}{4}) = - 4 x$

Schritt 2.3.1.3

Multipliziere.

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Schritt 2.3.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \sin (\frac{y}{4}) = - 4 x$

Schritt 2.3.1.3.2

Mutltipliziere $\sin (\frac{y}{4})$ mit $1$ .

$\sin (\frac{y}{4}) = - 4 x$

Schritt 2.4

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$\frac{y}{4} = \arcsin (- 4 x)$

Schritt 2.5

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $4$ .

$4 \frac{y}{4} = 4 \arcsin (- 4 x)$

Schritt 2.6

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{y}{4} = 4 \arcsin (- 4 x)$

Schritt 2.6.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 4 \arcsin (- 4 x)$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = 4 \arcsin (- 4 x)$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 4 \arcsin (- 4 x)$ die Umkehrfunktion von $f (x) = - \frac{1}{4} \cdot \sin (\frac{x}{4})$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (- \frac{1}{4} \cdot \sin (\frac{x}{4}))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{4} \cdot \sin (\frac{x}{4})) = 4 \arcsin (- 4 (- \frac{1}{4} \cdot \sin (\frac{x}{4})))$

Schritt 4.2.3

Kombiniere $\sin (\frac{x}{4})$ und $\frac{1}{4}$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{4} \cdot \sin (\frac{x}{4})) = 4 \arcsin (- 4 (- \frac{\sin (\frac{x}{4})}{4}))$

Schritt 4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.2.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sin (\frac{x}{4})}{4}$ in den Zähler.

$f^{- 1} (- \frac{1}{4} \cdot \sin (\frac{x}{4})) = 4 \arcsin (- 4 \frac{- \sin (\frac{x}{4})}{4})$

Schritt 4.2.4.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$f^{- 1} (- \frac{1}{4} \cdot \sin (\frac{x}{4})) = 4 \arcsin (4 (- 1) (\frac{- \sin (\frac{x}{4})}{4}))$

Schritt 4.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- \frac{1}{4} \cdot \sin (\frac{x}{4})) = 4 \arcsin (4 \cdot (- 1 \frac{- \sin (\frac{x}{4})}{4}))$

Schritt 4.2.4.4

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (- \frac{1}{4} \cdot \sin (\frac{x}{4})) = 4 \arcsin (- 1 (- \sin (\frac{x}{4})))$

Schritt 4.2.5

Multipliziere.

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Schritt 4.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{4} \cdot \sin (\frac{x}{4})) = 4 \arcsin (1 \sin (\frac{x}{4}))$

Schritt 4.2.5.2

Mutltipliziere $\sin (\frac{x}{4})$ mit $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{4} \cdot \sin (\frac{x}{4})) = 4 \arcsin (\sin (\frac{x}{4}))$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (4 \arcsin (- 4 x))$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (4 \arcsin (- 4 x)) = - \frac{1}{4} \cdot \sin (\frac{4 \arcsin (- 4 x)}{4})$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (4 \arcsin (- 4 x)) = - \frac{1}{4} \cdot \sin (\frac{4 \arcsin (- 4 x)}{4})$

Schritt 4.3.3.2

Dividiere $\arcsin (- 4 x)$ durch $1$ .

$f (4 \arcsin (- 4 x)) = - \frac{1}{4} \cdot \sin (\arcsin (- 4 x))$

Schritt 4.3.4

Die Funktionen Sinus und Arkussinus sind Inverse.

$f (4 \arcsin (- 4 x)) = - \frac{1}{4} \cdot (- 4 x)$

Schritt 4.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.3.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{4}$ in den Zähler.

$f (4 \arcsin (- 4 x)) = \frac{- 1}{4} \cdot (- 4 x)$

Schritt 4.3.5.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x$ heraus.

$f (4 \arcsin (- 4 x)) = \frac{- 1}{4} \cdot (4 (- x))$

Schritt 4.3.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (4 \arcsin (- 4 x)) = \frac{- 1}{4} \cdot (4 (- x))$

Schritt 4.3.5.4

Forme den Ausdruck um.

$f (4 \arcsin (- 4 x)) = - 1 \cdot (- x)$

Schritt 4.3.6

Multipliziere.

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Schritt 4.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (4 \arcsin (- 4 x)) = 1 \cdot x$

Schritt 4.3.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (4 \arcsin (- 4 x)) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = 4 \arcsin (- 4 x)$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = - \frac{1}{4} \cdot \sin (\frac{x}{4})$ .

$f^{- 1} (x) = 4 \arcsin (- 4 x)$