Trigonometrie Beispiele

$y = \frac{1}{4} \cdot \cos (3 x)$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{1}{4} \cdot \cos (3 y)$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{4} \cdot \cos (3 y) = x$ um.

$\frac{1}{4} \cdot \cos (3 y) = x$

Schritt 2.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $4$ .

$4 (\frac{1}{4} \cos (3 y)) = 4 x$

Schritt 2.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $4 (\frac{1}{4} \cos (3 y))$ .

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Schritt 2.3.1.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $\cos (3 y)$ .

$4 \frac{\cos (3 y)}{4} = 4 x$

Schritt 2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{\cos (3 y)}{4} = 4 x$

Schritt 2.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (3 y) = 4 x$

Schritt 2.4

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$3 y = \arccos (4 x)$

Schritt 2.5

Teile jeden Ausdruck in $3 y = \arccos (4 x)$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y = \arccos (4 x)$ durch $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\arccos (4 x)}{3}$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\arccos (4 x)}{3}$

Schritt 2.5.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\arccos (4 x)}{3}$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (4 x)}{3}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (4 x)}{3}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{1}{4} \cdot \cos (3 x)$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{1}{4} \cdot \cos (3 x))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{4} \cdot \cos (3 x)) = \frac{\arccos (4 (\frac{1}{4} \cdot \cos (3 x)))}{3}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{1}{4} \cdot \cos (3 x)) = \frac{\arccos (4 (\frac{1}{4}) \cdot \cos (3 x))}{3}$

Schritt 4.2.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{1}{4} \cdot \cos (3 x)) = \frac{\arccos (1 \cdot \cos (3 x))}{3}$

Schritt 4.2.3.2

Mutltipliziere $\cos (3 x)$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{4} \cdot \cos (3 x)) = \frac{\arccos (\cos (3 x))}{3}$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{\arccos (4 x)}{3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\arccos (4 x)}{3}) = \frac{1}{4} \cdot \cos (3 (\frac{\arccos (4 x)}{3}))$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\arccos (4 x)}{3}) = \frac{1}{4} \cdot \cos (3 (\frac{\arccos (4 x)}{3}))$

Schritt 4.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\arccos (4 x)}{3}) = \frac{1}{4} \cdot \cos (\arccos (4 x))$

Schritt 4.3.4

Die Funktionen Kosinus und Arkuskosinus sind Inverse.

$f (\frac{\arccos (4 x)}{3}) = \frac{1}{4} \cdot (4 x)$

Schritt 4.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.3.5.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$f (\frac{\arccos (4 x)}{3}) = \frac{1}{4} \cdot (4 (x))$

Schritt 4.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\arccos (4 x)}{3}) = \frac{1}{4} \cdot (4 x)$

Schritt 4.3.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\arccos (4 x)}{3}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (4 x)}{3}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{1}{4} \cdot \cos (3 x)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (4 x)}{3}$