Trigonometrie Beispiele

$y = \frac{1}{3} x - \frac{5}{3}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{1}{3} y - \frac{5}{3}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{3} y - \frac{5}{3} = x$ um.

$\frac{1}{3} y - \frac{5}{3} = x$

Schritt 2.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $y$ .

$\frac{y}{3} - \frac{5}{3} = x$

Schritt 2.3

Addiere $\frac{5}{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y}{3} = x + \frac{5}{3}$

Schritt 2.4

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 \frac{y}{3} = 3 (x + \frac{5}{3})$

Schritt 2.5

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{y}{3} = 3 (x + \frac{5}{3})$

Schritt 2.5.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 3 (x + \frac{5}{3})$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.2.1

Vereinfache $3 (x + \frac{5}{3})$ .

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Schritt 2.5.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 3 x + 3 (\frac{5}{3})$

Schritt 2.5.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.5.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 3 x + 3 (\frac{5}{3})$

Schritt 2.5.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 3 x + 5$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = 3 x + 5$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 3 x + 5$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{1}{3} x - \frac{5}{3}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{1}{3} x - \frac{5}{3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} x - \frac{5}{3}) = 3 (\frac{1}{3} x - \frac{5}{3}) + 5$

Schritt 4.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} x - \frac{5}{3}) = 3 (\frac{x}{3} - \frac{5}{3}) + 5$

Schritt 4.2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} x - \frac{5}{3}) = 3 (\frac{x}{3}) + 3 (- \frac{5}{3}) + 5$

Schritt 4.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} x - \frac{5}{3}) = 3 (\frac{x}{3}) + 3 (- \frac{5}{3}) + 5$

Schritt 4.2.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} x - \frac{5}{3}) = x + 3 (- \frac{5}{3}) + 5$

Schritt 4.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.3.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5}{3}$ in den Zähler.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} x - \frac{5}{3}) = x + 3 (\frac{- 5}{3}) + 5$

Schritt 4.2.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} x - \frac{5}{3}) = x + 3 (\frac{- 5}{3}) + 5$

Schritt 4.2.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} x - \frac{5}{3}) = x - 5 + 5$

Schritt 4.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 5 + 5$ .

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Schritt 4.2.4.1

Addiere $- 5$ und $5$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} x - \frac{5}{3}) = x + 0$

Schritt 4.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} x - \frac{5}{3}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (3 x + 5)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (3 x + 5) = \frac{1}{3} \cdot (3 x + 5) - \frac{5}{3}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (3 x + 5) = \frac{1}{3} \cdot (3 x) + \frac{1}{3} \cdot 5 - \frac{5}{3}$

Schritt 4.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$f (3 x + 5) = \frac{1}{3} \cdot (3 (x)) + \frac{1}{3} \cdot 5 - \frac{5}{3}$

Schritt 4.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (3 x + 5) = \frac{1}{3} \cdot (3 x) + \frac{1}{3} \cdot 5 - \frac{5}{3}$

Schritt 4.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (3 x + 5) = x + \frac{1}{3} \cdot 5 - \frac{5}{3}$

Schritt 4.3.3.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $5$ .

$f (3 x + 5) = x + \frac{5}{3} - \frac{5}{3}$

Schritt 4.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + \frac{5}{3} - \frac{5}{3}$ .

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Schritt 4.3.4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (3 x + 5) = x + \frac{5 - 5}{3}$

Schritt 4.3.4.2

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$f (3 x + 5) = x + \frac{0}{3}$

Schritt 4.3.4.3

Dividiere $0$ durch $3$ .

$f (3 x + 5) = x + 0$

Schritt 4.3.4.4

Addiere $x$ und $0$ .

$f (3 x + 5) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = 3 x + 5$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{1}{3} x - \frac{5}{3}$ .

$f^{- 1} (x) = 3 x + 5$