Trigonometrie Beispiele

$\sin (x) \sqrt{\frac{3}{2}}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \sin (y) \sqrt{\frac{3}{2}}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\sin (y) \sqrt{\frac{3}{2}} = x$ um.

$\sin (y) \sqrt{\frac{3}{2}} = x$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $\sin (y) \sqrt{\frac{3}{2}} = x$ durch $\sqrt{\frac{3}{2}}$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $\sin (y) \sqrt{\frac{3}{2}} = x$ durch $\sqrt{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{\sin (y) \sqrt{\frac{3}{2}}}{\sqrt{\frac{3}{2}}} = \frac{x}{\sqrt{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (y) \sqrt{\frac{3}{2}}}{\sqrt{\frac{3}{2}}} = \frac{x}{\sqrt{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $\sin (y)$ durch $1$ .

$\sin (y) = \frac{x}{\sqrt{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.2.3.1.1

Schreibe $\sqrt{\frac{3}{2}}$ als $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ um.

$\sin (y) = \frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}$

Schritt 2.2.3.1.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (y) = \frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}$

Schritt 2.2.3.1.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.2.3.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (y) = \frac{x}{\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}}$

Schritt 2.2.3.1.3.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sin (y) = \frac{x}{\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}}$

Schritt 2.2.3.1.3.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sin (y) = \frac{x}{\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}}$

Schritt 2.2.3.1.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (y) = \frac{x}{\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}}$

Schritt 2.2.3.1.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (y) = \frac{x}{\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}}$

Schritt 2.2.3.1.3.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 2.2.3.1.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sin (y) = \frac{x}{\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}$

Schritt 2.2.3.1.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (y) = \frac{x}{\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}$

Schritt 2.2.3.1.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sin (y) = \frac{x}{\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}$

Schritt 2.2.3.1.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.3.1.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (y) = \frac{x}{\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}$

Schritt 2.2.3.1.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (y) = \frac{x}{\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{1}}}$

Schritt 2.2.3.1.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sin (y) = \frac{x}{\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 2.2.3.1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.3.1.4.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\sin (y) = \frac{x}{\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2}}$

Schritt 2.2.3.1.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\sin (y) = \frac{x}{\frac{\sqrt{6}}{2}}$

Schritt 2.2.3.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sin (y) = x \frac{2}{\sqrt{6}}$

Schritt 2.2.3.3

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{6}}$ mit $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\sin (y) = x (\frac{2}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}})$

Schritt 2.2.3.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.2.3.4.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{6}}$ mit $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\sin (y) = x \frac{2 \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Schritt 2.2.3.4.2

Potenziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$\sin (y) = x \frac{2 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

Schritt 2.2.3.4.3

Potenziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$\sin (y) = x \frac{2 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

Schritt 2.2.3.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (y) = x \frac{2 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Schritt 2.2.3.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (y) = x \frac{2 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Schritt 2.2.3.4.6

Schreibe ${\sqrt{6}}^{2}$ als $6$ um.

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Schritt 2.2.3.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6}$ als $6^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sin (y) = x \frac{2 \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.2.3.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (y) = x \frac{2 \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.2.3.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sin (y) = x \frac{2 \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.2.3.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.3.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (y) = x \frac{2 \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.2.3.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (y) = x \frac{2 \sqrt{6}}{6^{1}}$

Schritt 2.2.3.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sin (y) = x \frac{2 \sqrt{6}}{6}$

Schritt 2.2.3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6$ .

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Schritt 2.2.3.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{6}$ heraus.

$\sin (y) = x \frac{2 (\sqrt{6})}{6}$

Schritt 2.2.3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.3.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\sin (y) = x \frac{2 \sqrt{6}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.2.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (y) = x \frac{2 \sqrt{6}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.2.3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sin (y) = x \frac{\sqrt{6}}{3}$

Schritt 2.2.3.6

Kombiniere $x$ und $\frac{\sqrt{6}}{3}$ .

$\sin (y) = \frac{x \sqrt{6}}{3}$

Schritt 2.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$y = \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sin (x) \sqrt{\frac{3}{2}}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\sin (x) \sqrt{\frac{3}{2}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sin (x) \sqrt{\frac{3}{2}}) = \arcsin (\frac{(\sin (x) \sqrt{\frac{3}{2}}) \sqrt{6}}{3})$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$f^{- 1} (\sin (x) \sqrt{\frac{3}{2}}) = \arcsin (\frac{\sin (x) \sqrt{6 (\frac{3}{2})}}{3})$

Schritt 4.2.3.2

Kombiniere $6$ und $\frac{3}{2}$ .

$f^{- 1} (\sin (x) \sqrt{\frac{3}{2}}) = \arcsin (\frac{\sin (x) \sqrt{\frac{6 \cdot 3}{2}}}{3})$

Schritt 4.2.4

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\sin (x) \sqrt{\frac{3}{2}}) = \arcsin (\frac{\sin (x) \sqrt{\frac{18}{2}}}{3})$

Schritt 4.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.5.1

Dividiere $18$ durch $2$ .

$f^{- 1} (\sin (x) \sqrt{\frac{3}{2}}) = \arcsin (\frac{\sin (x) \sqrt{9}}{3})$

Schritt 4.2.5.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$f^{- 1} (\sin (x) \sqrt{\frac{3}{2}}) = \arcsin (\frac{\sin (x) \sqrt{3^{2}}}{3})$

Schritt 4.2.5.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f^{- 1} (\sin (x) \sqrt{\frac{3}{2}}) = \arcsin (\frac{\sin (x) \cdot 3}{3})$

Schritt 4.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sin (x) \sqrt{\frac{3}{2}}) = \arcsin (\frac{\sin (x) \cdot 3}{3})$

Schritt 4.2.6.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\sin (x) \sqrt{\frac{3}{2}}) = \arcsin (\sin (x))$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3}))$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \sin (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) \sqrt{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.3.3

Die Funktionen Sinus und Arkussinus sind Inverse.

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \sqrt{6}}{3} \cdot \sqrt{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.3.4

Schreibe $\sqrt{\frac{3}{2}}$ als $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ um.

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Schritt 4.3.5

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \sqrt{6}}{3} \cdot (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Schritt 4.3.6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.6.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 4.3.6.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 4.3.6.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 4.3.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.3.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 4.3.6.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 4.3.6.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.3.6.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.3.6.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.3.6.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.6.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.3.6.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.3.6.6.5

Berechne den Exponenten.

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.7.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2}$

Schritt 4.3.7.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{6}}{2}$

Schritt 4.3.8

Multipliziere $\frac{x \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{6}}{2}$ .

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Schritt 4.3.8.1

Mutltipliziere $\frac{x \sqrt{6}}{3}$ mit $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \sqrt{6} \sqrt{6}}{3 \cdot 2}$

Schritt 4.3.8.2

Potenziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x (\sqrt{6} \sqrt{6})}{3 \cdot 2}$

Schritt 4.3.8.3

Potenziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x (\sqrt{6} \sqrt{6})}{3 \cdot 2}$

Schritt 4.3.8.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x {\sqrt{6}}^{1 + 1}}{3 \cdot 2}$

Schritt 4.3.8.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x {\sqrt{6}}^{2}}{3 \cdot 2}$

Schritt 4.3.8.6

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x {\sqrt{6}}^{2}}{6}$

Schritt 4.3.9

Schreibe ${\sqrt{6}}^{2}$ als $6$ um.

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Schritt 4.3.9.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6}$ als $6^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6}$

Schritt 4.3.9.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6}$

Schritt 4.3.9.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \cdot 6^{\frac{2}{2}}}{6}$

Schritt 4.3.9.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.9.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \cdot 6^{\frac{2}{2}}}{6}$

Schritt 4.3.9.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \cdot 6}{6}$

Schritt 4.3.9.5

Berechne den Exponenten.

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \cdot 6}{6}$

Schritt 4.3.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 4.3.10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \cdot 6}{6}$

Schritt 4.3.10.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \sin (x) \sqrt{\frac{3}{2}}$ .

$f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})$