Trigonometrie Beispiele

$\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{\sin (y) \sqrt{2}}{2}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{\sin (y) \sqrt{2}}{2} = x$ um.

$\frac{\sin (y) \sqrt{2}}{2} = x$

Schritt 2.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sin (y) \sqrt{2}}{2} = \frac{2}{\sqrt{2}} x$

Schritt 2.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1.1

Vereinfache $\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sin (y) \sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sin (y) \sqrt{2}}{2} = \frac{2}{\sqrt{2}} x$

Schritt 2.3.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\sqrt{2}} (\sin (y) \sqrt{2}) = \frac{2}{\sqrt{2}} x$

Schritt 2.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1.2.1

Faktorisiere $\sqrt{2}$ aus $\sin (y) \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{1}{\sqrt{2}} (\sqrt{2} \sin (y)) = \frac{2}{\sqrt{2}} x$

Schritt 2.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\sqrt{2}} (\sqrt{2} \sin (y)) = \frac{2}{\sqrt{2}} x$

Schritt 2.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sin (y) = \frac{2}{\sqrt{2}} x$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache $\frac{2}{\sqrt{2}} x$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (y) = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} x$

Schritt 2.3.2.1.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.3.2.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (y) = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} x$

Schritt 2.3.2.1.2.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sin (y) = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} x$

Schritt 2.3.2.1.2.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sin (y) = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} x$

Schritt 2.3.2.1.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (y) = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} x$

Schritt 2.3.2.1.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (y) = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} x$

Schritt 2.3.2.1.2.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 2.3.2.1.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sin (y) = \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} x$

Schritt 2.3.2.1.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (y) = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} x$

Schritt 2.3.2.1.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sin (y) = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} x$

Schritt 2.3.2.1.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.1.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (y) = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} x$

Schritt 2.3.2.1.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (y) = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} x$

Schritt 2.3.2.1.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sin (y) = \frac{2 \sqrt{2}}{2} x$

Schritt 2.3.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (y) = \frac{2 \sqrt{2}}{2} x$

Schritt 2.3.2.1.3.2

Dividiere $\sqrt{2}$ durch $1$ .

$\sin (y) = \sqrt{2} x$

Schritt 2.4

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$y = \arcsin (\sqrt{2} x)$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \arcsin (\sqrt{2} x)$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \arcsin (\sqrt{2} x)$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}) = \arcsin (\sqrt{2} (\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}))$

Schritt 4.2.3

Multipliziere $\sqrt{2} (\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2})$ .

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Schritt 4.2.3.1

Kombiniere $\sqrt{2}$ und $\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}) = \arcsin (\frac{\sqrt{2} (\sin (x) \sqrt{2})}{2})$

Schritt 4.2.3.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}) = \arcsin (\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} \sin (x)}{2})$

Schritt 4.2.3.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}) = \arcsin (\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} \sin (x)}{2})$

Schritt 4.2.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}) = \arcsin (\frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1} \sin (x)}{2})$

Schritt 4.2.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f^{- 1} (\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}) = \arcsin (\frac{{\sqrt{2}}^{2} \sin (x)}{2})$

Schritt 4.2.4

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 4.2.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}) = \arcsin (\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} \sin (x)}{2})$

Schritt 4.2.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}) = \arcsin (\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sin (x)}{2})$

Schritt 4.2.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}) = \arcsin (\frac{2^{\frac{2}{2}} \sin (x)}{2})$

Schritt 4.2.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}) = \arcsin (\frac{2^{\frac{2}{2}} \sin (x)}{2})$

Schritt 4.2.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}) = \arcsin (\frac{2 \sin (x)}{2})$

Schritt 4.2.4.5

Berechne den Exponenten.

$f^{- 1} (\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}) = \arcsin (\frac{2 \sin (x)}{2})$

Schritt 4.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}) = \arcsin (\frac{2 \sin (x)}{2})$

Schritt 4.2.5.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}) = \arcsin (\sin (x))$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\arcsin (\sqrt{2} x))$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\arcsin (\sqrt{2} x)) = \frac{\sin (\arcsin (\sqrt{2} x)) \sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.3.1

Die Funktionen Sinus und Arkussinus sind Inverse.

$f (\arcsin (\sqrt{2} x)) = \frac{\sqrt{2} x \sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.3.3.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 4.3.3.2.1

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$f (\arcsin (\sqrt{2} x)) = \frac{x (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2}$

Schritt 4.3.3.2.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$f (\arcsin (\sqrt{2} x)) = \frac{x (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2}$

Schritt 4.3.3.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\arcsin (\sqrt{2} x)) = \frac{x {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2}$

Schritt 4.3.3.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$f (\arcsin (\sqrt{2} x)) = \frac{x {\sqrt{2}}^{2}}{2}$

Schritt 4.3.3.3

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 4.3.3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\arcsin (\sqrt{2} x)) = \frac{x {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

Schritt 4.3.3.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\arcsin (\sqrt{2} x)) = \frac{x \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

Schritt 4.3.3.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\arcsin (\sqrt{2} x)) = \frac{x \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2}$

Schritt 4.3.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.3.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\arcsin (\sqrt{2} x)) = \frac{x \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2}$

Schritt 4.3.3.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\arcsin (\sqrt{2} x)) = \frac{x \cdot 2}{2}$

Schritt 4.3.3.3.5

Berechne den Exponenten.

$f (\arcsin (\sqrt{2} x)) = \frac{x \cdot 2}{2}$

Schritt 4.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\arcsin (\sqrt{2} x)) = \frac{x \cdot 2}{2}$

Schritt 4.3.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (\arcsin (\sqrt{2} x)) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \arcsin (\sqrt{2} x)$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}$ .

$f^{- 1} (x) = \arcsin (\sqrt{2} x)$