Trigonometrie Beispiele

$\sin (- x)$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \sin (- y)$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\sin (- y) = x$ um.

$\sin (- y) = x$

Schritt 2.2

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$- y = \arcsin (x)$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $- y = \arcsin (x)$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- y = \arcsin (x)$ durch $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\arcsin (x)}{- 1}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y}{1} = \frac{\arcsin (x)}{- 1}$

Schritt 2.3.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\arcsin (x)}{- 1}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\arcsin (x)}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \arcsin (x)$

Schritt 2.3.3.2

Schreibe $- 1 \cdot \arcsin (x)$ als $- \arcsin (x)$ um.

$y = - \arcsin (x)$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \arcsin (x)$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - \arcsin (x)$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sin (- x)$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\sin (- x))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sin (- x)) = - \arcsin (\sin (- x))$

Schritt 4.2.3

Da $\sin (- x)$ eine ungerade Funktion ist, schreibe $\sin (- x)$ als $- \sin (x)$ .

$f^{- 1} (\sin (- x)) = - \arcsin (- \sin (x))$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (- \arcsin (x))$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \arcsin (x)) = \sin (- (- \arcsin (x)))$

Schritt 4.3.3

Multipliziere $- (- \arcsin (x))$ .

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Schritt 4.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- \arcsin (x)) = \sin (1 \arcsin (x))$

Schritt 4.3.3.2

Mutltipliziere $\arcsin (x)$ mit $1$ .

$f (- \arcsin (x)) = \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.3.4

Die Funktionen Sinus und Arkussinus sind Inverse.

$f (- \arcsin (x)) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - \arcsin (x)$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \sin (- x)$ .

$f^{- 1} (x) = - \arcsin (x)$