Trigonometrie Beispiele

$\tan (- \frac{5 x}{6})$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \tan (- \frac{5 y}{6})$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\tan (- \frac{5 y}{6}) = x$ um.

$\tan (- \frac{5 y}{6}) = x$

Schritt 2.2

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$- \frac{5 y}{6} = \arctan (x)$

Schritt 2.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- \frac{6}{5}$ .

$- \frac{6}{5} (- \frac{5 y}{6}) = - \frac{6}{5} \arctan (x)$

Schritt 2.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.1.1

Vereinfache $- \frac{6}{5} (- \frac{5 y}{6})$ .

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Schritt 2.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 2.4.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{6}{5}$ in den Zähler.

$\frac{- 6}{5} (- \frac{5 y}{6}) = - \frac{6}{5} \arctan (x)$

Schritt 2.4.1.1.1.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5 y}{6}$ in den Zähler.

$\frac{- 6}{5} \cdot \frac{- 5 y}{6} = - \frac{6}{5} \arctan (x)$

Schritt 2.4.1.1.1.3

Faktorisiere $6$ aus $- 6$ heraus.

$\frac{6 (- 1)}{5} \cdot \frac{- 5 y}{6} = - \frac{6}{5} \arctan (x)$

Schritt 2.4.1.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 \cdot - 1}{5} \cdot \frac{- 5 y}{6} = - \frac{6}{5} \arctan (x)$

Schritt 2.4.1.1.1.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{5} (- 5 y) = - \frac{6}{5} \arctan (x)$

Schritt 2.4.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.4.1.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5 y$ heraus.

$\frac{- 1}{5} (5 (- y)) = - \frac{6}{5} \arctan (x)$

Schritt 2.4.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{5} (5 (- y)) = - \frac{6}{5} \arctan (x)$

Schritt 2.4.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- - y = - \frac{6}{5} \arctan (x)$

Schritt 2.4.1.1.3

Multipliziere.

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Schritt 2.4.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 y = - \frac{6}{5} \arctan (x)$

Schritt 2.4.1.1.3.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y = - \frac{6}{5} \arctan (x)$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache $- \frac{6}{5} \arctan (x)$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Kombiniere $\arctan (x)$ und $\frac{6}{5}$ .

$y = - \frac{\arctan (x) \cdot 6}{5}$

Schritt 2.4.2.1.2

Bringe $6$ auf die linke Seite von $\arctan (x)$ .

$y = - \frac{6 \arctan (x)}{5}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{6 \arctan (x)}{5}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - \frac{6 \arctan (x)}{5}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \tan (- \frac{5 x}{6})$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\tan (- \frac{5 x}{6}))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\tan (- \frac{5 x}{6})) = - \frac{6 \arctan (\tan (- \frac{5 x}{6}))}{5}$

Schritt 4.2.3

Da $\tan (- \frac{5 x}{6})$ eine ungerade Funktion ist, schreibe $\tan (- \frac{5 x}{6})$ als $- \tan (\frac{5 x}{6})$ .

$f^{- 1} (\tan (- \frac{5 x}{6})) = - \frac{6 \arctan (- \tan (\frac{5 x}{6}))}{5}$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (- \frac{6 \arctan (x)}{5})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \frac{6 \arctan (x)}{5}) = \tan (- \frac{5 (- \frac{6 \arctan (x)}{5})}{6})$

Schritt 4.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$f (- \frac{6 \arctan (x)}{5}) = \tan (- \frac{- 5 \frac{6 \arctan (x)}{5}}{6})$

Schritt 4.3.3.2

Kombiniere $- 5$ und $\frac{6 \arctan (x)}{5}$ .

$f (- \frac{6 \arctan (x)}{5}) = \tan (- \frac{\frac{- 5 (6 \arctan (x))}{5}}{6})$

Schritt 4.3.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $6$ .

$f (- \frac{6 \arctan (x)}{5}) = \tan (- \frac{\frac{- 30 \arctan (x)}{5}}{6})$

Schritt 4.3.5

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.5.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{- 30 \arctan (x)}{5}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.5.1.1

Faktorisiere $5$ aus $- 30 \arctan (x)$ heraus.

$f (- \frac{6 \arctan (x)}{5}) = \tan (- \frac{\frac{5 (- 6 \arctan (x))}{5}}{6})$

Schritt 4.3.5.1.2

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$f (- \frac{6 \arctan (x)}{5}) = \tan (- \frac{\frac{5 (- 6 \arctan (x))}{5 (1)}}{6})$

Schritt 4.3.5.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{6 \arctan (x)}{5}) = \tan (- \frac{\frac{5 (- 6 \arctan (x))}{5 \cdot 1}}{6})$

Schritt 4.3.5.1.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{6 \arctan (x)}{5}) = \tan (- \frac{\frac{- 6 \arctan (x)}{1}}{6})$

Schritt 4.3.5.2

Dividiere $- 6 \arctan (x)$ durch $1$ .

$f (- \frac{6 \arctan (x)}{5}) = \tan (- \frac{- 6 \arctan (x)}{6})$

Schritt 4.3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $6$ .

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Schritt 4.3.6.1

Faktorisiere $6$ aus $- 6 \arctan (x)$ heraus.

$f (- \frac{6 \arctan (x)}{5}) = \tan (- \frac{6 (- \arctan (x))}{6})$

Schritt 4.3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.6.2.1

Faktorisiere $6$ aus $6$ heraus.

$f (- \frac{6 \arctan (x)}{5}) = \tan (- \frac{6 (- \arctan (x))}{6 (1)})$

Schritt 4.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{6 \arctan (x)}{5}) = \tan (- \frac{6 (- \arctan (x))}{6 \cdot 1})$

Schritt 4.3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{6 \arctan (x)}{5}) = \tan (- \frac{- \arctan (x)}{1})$

Schritt 4.3.6.2.4

Dividiere $- \arctan (x)$ durch $1$ .

$f (- \frac{6 \arctan (x)}{5}) = \tan (\arctan (x))$

Schritt 4.3.7

Die Funktionen Tangens und Arkustangens sind Inverse.

$f (- \frac{6 \arctan (x)}{5}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - \frac{6 \arctan (x)}{5}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \tan (- \frac{5 x}{6})$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{6 \arctan (x)}{5}$