Gib eine Aufgabe ein ...
Trigonometrie Beispiele
Schritt 1
Vertausche die Variablen.
Schritt 2
Schritt 2.1
Schreibe die Gleichung als um.
Schritt 2.2
Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Tangens herauszuziehen.
Schritt 2.3
Wende den inversen Arcuskosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Arcuskosinus herauszuziehen.
Schritt 2.4
Vereinfache die rechte Seite.
Schritt 2.4.1
Vereinfache .
Schritt 2.4.1.1
Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten , und dem Ursprung. Dann ist der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch verläuft. Folglich ist .
Schritt 2.4.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.4.1.3
Vereinige und vereinfache den Nenner.
Schritt 2.4.1.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.4.1.3.2
Potenziere mit .
Schritt 2.4.1.3.3
Potenziere mit .
Schritt 2.4.1.3.4
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 2.4.1.3.5
Addiere und .
Schritt 2.4.1.3.6
Schreibe als um.
Schritt 2.4.1.3.6.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 2.4.1.3.6.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 2.4.1.3.6.3
Kombiniere und .
Schritt 2.4.1.3.6.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 2.4.1.3.6.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.4.1.3.6.4.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 2.4.1.3.6.5
Vereinfache.
Schritt 2.5
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Schritt 2.5.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 2.5.2
Vereinfache die linke Seite.
Schritt 2.5.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 2.5.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.5.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 2.5.3
Vereinfache die rechte Seite.
Schritt 2.5.3.1
Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.
Schritt 2.5.3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.5.3.3
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 3
Replace with to show the final answer.
Schritt 4
Schritt 4.1
Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob ist und ist.
Schritt 4.2
Berechne .
Schritt 4.2.1
Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.
Schritt 4.2.2
Berechne durch Einsetzen des Wertes von in .
Schritt 4.2.3
Ordne Terme um.
Schritt 4.2.4
Wende den trigonometrischen Pythagoras an.
Schritt 4.2.5
Ordne Terme um.
Schritt 4.2.6
Wende den trigonometrischen Pythagoras an.
Schritt 4.2.7
Vereinfache den Zähler.
Schritt 4.2.7.1
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.
Schritt 4.2.7.2
Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten , und dem Ursprung. Dann ist der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch verläuft. Folglich ist .
Schritt 4.2.8
Vereinfache den Nenner.
Schritt 4.2.8.1
Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten , und dem Ursprung. Dann ist der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch verläuft. Folglich ist .
Schritt 4.2.8.2
Wende die Exponentenregel an, um den Exponenten zu verteilen.
Schritt 4.2.8.2.1
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 4.2.8.2.2
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 4.2.8.3
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 4.2.8.4
Potenziere mit .
Schritt 4.2.9
Vereinfache Terme.
Schritt 4.2.9.1
Kombiniere und .
Schritt 4.2.9.2
Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.
Schritt 4.2.9.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.2.9.2.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.2.9.2.3
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.2.9.2.4
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.2.10
Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.
Schritt 4.2.11
Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.
Schritt 4.2.12
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 4.2.12.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.2.12.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.2.12.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.2.13
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 4.2.13.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.2.13.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.2.13.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.3
Berechne .
Schritt 4.3.1
Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.
Schritt 4.3.2
Berechne durch Einsetzen des Wertes von in .
Schritt 4.3.3
Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten , und dem Ursprung. Dann ist der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch verläuft. Folglich ist .
Schritt 4.3.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 4.3.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.3.4.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.3.5
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 4.3.5.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.3.5.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.3.6
Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.
Schritt 4.3.7
Schreibe als um.
Schritt 4.3.8
Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, , mit und .
Schritt 4.3.9
Vereinfache.
Schritt 4.3.9.1
Schreibe als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.3.9.2
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.3.9.3
Schreibe als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.3.9.4
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.3.10
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.3.11
Vereinfache den Nenner.
Schritt 4.3.11.1
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 4.3.11.2
Addiere und .
Schritt 4.3.12
Schreibe als um.
Schritt 4.3.12.1
Faktorisiere die perfekte Potenz aus heraus.
Schritt 4.3.12.2
Faktorisiere die perfekte Potenz aus heraus.
Schritt 4.3.12.3
Ordne den Bruch um.
Schritt 4.3.13
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.
Schritt 4.3.14
Kombiniere und .
Schritt 4.3.15
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 4.3.15.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.3.15.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.3.16
Kombiniere und .
Schritt 4.3.17
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.3.18
Vereinige und vereinfache den Nenner.
Schritt 4.3.18.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.3.18.2
Potenziere mit .
Schritt 4.3.18.3
Potenziere mit .
Schritt 4.3.18.4
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 4.3.18.5
Addiere und .
Schritt 4.3.18.6
Schreibe als um.
Schritt 4.3.18.6.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 4.3.18.6.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 4.3.18.6.3
Kombiniere und .
Schritt 4.3.18.6.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 4.3.18.6.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.3.18.6.4.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.3.18.6.5
Vereinfache.
Schritt 4.3.19
Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.
Schritt 4.4
Da und gleich sind, ist die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von .