Trigonometrie Beispiele

$\tan (\arccos (6 x))$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \tan (\arccos (6 y))$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\tan (\arccos (6 y)) = x$ um.

$\tan (\arccos (6 y)) = x$

Schritt 2.2

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $\arccos (6 y)$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$\arccos (6 y) = \arctan (x)$

Schritt 2.3

Wende den inversen Arcuskosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Arcuskosinus herauszuziehen.

$6 y = \cos (\arctan (x))$

Schritt 2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache $\cos (\arctan (x))$ .

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Schritt 2.4.1.1

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(1, x)$ , $(1, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\arctan (x)$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(1, x)$ verläuft. Folglich ist $\cos (\arctan (x))$ $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$6 y = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Schritt 2.4.1.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$6 y = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Schritt 2.4.1.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.4.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$6 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}$

Schritt 2.4.1.3.2

Potenziere $\sqrt{1 + x^{2}}$ mit $1$ .

$6 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}}$

Schritt 2.4.1.3.3

Potenziere $\sqrt{1 + x^{2}}$ mit $1$ .

$6 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}}$

Schritt 2.4.1.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}}$

Schritt 2.4.1.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$6 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}}$

Schritt 2.4.1.3.6

Schreibe ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ als $1 + x^{2}$ um.

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Schritt 2.4.1.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 + x^{2}}$ als ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$6 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.4.1.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.4.1.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$6 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.4.1.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.1.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.4.1.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$6 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}}$

Schritt 2.4.1.3.6.5

Vereinfache.

$6 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

Schritt 2.5

Teile jeden Ausdruck in $6 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Teile jeden Ausdruck in $6 y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ durch $6$ .

$\frac{6 y}{6} = \frac{\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}}{6}$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 2.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 y}{6} = \frac{\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}}{6}$

Schritt 2.5.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}}{6}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{6}$

Schritt 2.5.3.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ mit $\frac{1}{6}$ .

$y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{(1 + x^{2}) \cdot 6}$

Schritt 2.5.3.3

Bringe $6$ auf die linke Seite von $1 + x^{2}$ .

$y = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \tan (\arccos (6 x))$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\tan (\arccos (6 x)))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\tan (\arccos (6 x))) = \frac{\sqrt{1 + \tan^{2} (\arccos (6 x))}}{6 (1 + \tan^{2} (\arccos (6 x)))}$

Schritt 4.2.3

Ordne Terme um.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (6 x))) = \frac{\sqrt{\tan^{2} (\arccos (6 x)) + 1}}{6 (1 + \tan^{2} (\arccos (6 x)))}$

Schritt 4.2.4

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (6 x))) = \frac{\sqrt{\sec^{2} (\arccos (6 x))}}{6 (1 + \tan^{2} (\arccos (6 x)))}$

Schritt 4.2.5

Ordne Terme um.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (6 x))) = \frac{\sqrt{\sec^{2} (\arccos (6 x))}}{6 (\tan^{2} (\arccos (6 x)) + 1)}$

Schritt 4.2.6

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (6 x))) = \frac{\sqrt{\sec^{2} (\arccos (6 x))}}{6 \sec^{2} (\arccos (6 x))}$

Schritt 4.2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.7.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (6 x))) = \frac{\sec (\arccos (6 x))}{6 \sec^{2} (\arccos (6 x))}$

Schritt 4.2.7.2

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(6 x, \sqrt{1^{2} - {(6 x)}^{2}})$ , $(6 x, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\arccos (6 x)$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(6 x, \sqrt{1^{2} - {(6 x)}^{2}})$ verläuft. Folglich ist $\sec (\arccos (6 x))$ $\frac{1}{6 x}$ .

$f^{- 1} (\tan (\arccos (6 x))) = \frac{\frac{1}{6 x}}{6 \sec^{2} (\arccos (6 x))}$

Schritt 4.2.8

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.8.1

$f^{- 1} (\tan (\arccos (6 x))) = \frac{\frac{1}{6 x}}{6 {(\frac{1}{6 x})}^{2}}$

Schritt 4.2.8.2

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.2.8.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{6 x}$ an.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (6 x))) = \frac{\frac{1}{6 x}}{6 (\frac{1^{2}}{{(6 x)}^{2}})}$

Schritt 4.2.8.2.2

Wende die Produktregel auf $6 x$ an.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (6 x))) = \frac{\frac{1}{6 x}}{6 (\frac{1^{2}}{6^{2} x^{2}})}$

Schritt 4.2.8.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (6 x))) = \frac{\frac{1}{6 x}}{6 (\frac{1}{6^{2} x^{2}})}$

Schritt 4.2.8.4

Potenziere $6$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\tan (\arccos (6 x))) = \frac{\frac{1}{6 x}}{6 (\frac{1}{36 x^{2}})}$

Schritt 4.2.9

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.2.9.1

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{36 x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\tan (\arccos (6 x))) = \frac{\frac{1}{6 x}}{\frac{6}{36 x^{2}}}$

Schritt 4.2.9.2

Vereinfache den Ausdruck $\frac{6}{36 x^{2}}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.9.2.1

Faktorisiere $6$ aus $6$ heraus.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (6 x))) = \frac{\frac{1}{6 x}}{\frac{6 (1)}{36 x^{2}}}$

Schritt 4.2.9.2.2

Faktorisiere $6$ aus $36 x^{2}$ heraus.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (6 x))) = \frac{\frac{1}{6 x}}{\frac{6 (1)}{6 (6 x^{2})}}$

Schritt 4.2.9.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (6 x))) = \frac{\frac{1}{6 x}}{\frac{6 \cdot 1}{6 (6 x^{2})}}$

Schritt 4.2.9.2.4

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (6 x))) = \frac{\frac{1}{6 x}}{\frac{1}{6 x^{2}}}$

Schritt 4.2.10

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (6 x))) = \frac{1}{6 x} \cdot (6 x^{2})$

Schritt 4.2.11

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (6 x))) = 6 (\frac{1}{6 x}) \cdot x^{2}$

Schritt 4.2.12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 4.2.12.1

Faktorisiere $6$ aus $6 x$ heraus.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (6 x))) = 6 (\frac{1}{6 (x)}) \cdot x^{2}$

Schritt 4.2.12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (6 x))) = 6 (\frac{1}{6 x}) \cdot x^{2}$

Schritt 4.2.12.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (6 x))) = \frac{1}{x} \cdot x^{2}$

Schritt 4.2.13

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.2.13.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (6 x))) = \frac{1}{x} \cdot (x \cdot x)$

Schritt 4.2.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (6 x))) = \frac{1}{x} \cdot (x \cdot x)$

Schritt 4.2.13.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\tan (\arccos (6 x))) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \tan (\arccos (6 (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})})))$

Schritt 4.3.3

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(6 (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}), \sqrt{1^{2} - {(6 (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}))}^{2}})$ , $(6 (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}), 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\arccos (6 (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}))$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(6 (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}), \sqrt{1^{2} - {(6 (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}))}^{2}})$ verläuft. Folglich ist $\tan (\arccos (6 (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})})))$ $\frac{\sqrt{1 - {(\frac{6 \sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})})}^{2}}}{\frac{6 \sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}}$ .

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{1 - {(\frac{6 \sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})})}^{2}}}{\frac{6 \sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}}$

Schritt 4.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 4.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{1 - {(\frac{6 \sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})})}^{2}}}{\frac{6 \sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}}$

Schritt 4.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})}^{2}}}{\frac{6 \sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}}$

Schritt 4.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 4.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})}^{2}}}{\frac{6 \sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}}$

Schritt 4.3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})}^{2}}}{\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}}$

Schritt 4.3.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})}^{2}} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

Schritt 4.3.7

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \sqrt{1^{2} - {(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})}^{2}} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

Schritt 4.3.8

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \sqrt{(1 + \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) (1 - \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

Schritt 4.3.9

Vereinfache.

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Schritt 4.3.9.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \sqrt{(\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) (1 - \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

Schritt 4.3.9.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \sqrt{\frac{1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot (1 - \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

Schritt 4.3.9.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \sqrt{\frac{1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot (\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} - \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

Schritt 4.3.9.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \sqrt{\frac{1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

Schritt 4.3.10

Mutltipliziere $\frac{1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ mit $\frac{1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \sqrt{\frac{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}{(1 + x^{2}) (1 + x^{2})}} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

Schritt 4.3.11

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.11.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \sqrt{\frac{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}{{(1 + x^{2})}^{1 + 1}}} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

Schritt 4.3.11.2

Addiere $1$ und $1$ .

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \sqrt{\frac{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}{{(1 + x^{2})}^{2}}} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

Schritt 4.3.12

Schreibe $\frac{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ als ${(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2} ((1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}}))$ um.

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Schritt 4.3.12.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})$ heraus.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \sqrt{\frac{1^{2} ((1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}}))}{{(1 + x^{2})}^{2}}} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

Schritt 4.3.12.2

Faktorisiere die perfekte Potenz ${(1 + x^{2})}^{2}$ aus ${(1 + x^{2})}^{2}$ heraus.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \sqrt{\frac{1^{2} ((1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}}))}{{(1 + x^{2})}^{2} \cdot 1}} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

Schritt 4.3.12.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} ((1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}}))}{{(1 + x^{2})}^{2} \cdot 1}$ um.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \sqrt{{(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2} ((1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}}))} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

Schritt 4.3.13

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \frac{1}{1 + x^{2}} \cdot (\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}}))$

Schritt 4.3.14

Kombiniere $\frac{1}{1 + x^{2}}$ und $\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}$ .

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Schritt 4.3.15

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + x^{2}$ .

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Schritt 4.3.15.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Schritt 4.3.15.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} (\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

Schritt 4.3.16

Kombiniere $\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}$ und $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Schritt 4.3.17

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Schritt 4.3.18

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.18.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}$

Schritt 4.3.18.2

Potenziere $\sqrt{1 + x^{2}}$ mit $1$ .

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}$

Schritt 4.3.18.3

Potenziere $\sqrt{1 + x^{2}}$ mit $1$ .

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}$

Schritt 4.3.18.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.3.18.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}}$

Schritt 4.3.18.6

Schreibe ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ als $1 + x^{2}$ um.

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Schritt 4.3.18.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 + x^{2}}$ als ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.3.18.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.3.18.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.3.18.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.18.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.3.18.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

Schritt 4.3.18.6.5

Vereinfache.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}})} \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

Schritt 4.3.19

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$f (\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}) = \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2})}}{1 + x^{2}}$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \tan (\arccos (6 x))$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{6 (1 + x^{2})}$