Trigonometrie Beispiele

$\tan (\arcsin (x))$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \tan (\arcsin (y))$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\tan (\arcsin (y)) = x$ um.

$\tan (\arcsin (y)) = x$

Schritt 2.2

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $\arcsin (y)$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$\arcsin (y) = \arctan (x)$

Schritt 2.3

Nimm den inversen Arcussinus von beiden Seiten der Gleichung, um $y$ aus dem Arcussinus zu ziehen.

$y = \sin (\arctan (x))$

Schritt 2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache $\sin (\arctan (x))$ .

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Schritt 2.4.1.1

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(1, x)$ , $(1, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\arctan (x)$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(1, x)$ verläuft. Folglich ist $\sin (\arctan (x))$ $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$y = \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Schritt 2.4.1.2

Mutltipliziere $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$y = \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Schritt 2.4.1.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.4.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$y = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}$

Schritt 2.4.1.3.2

Potenziere $\sqrt{1 + x^{2}}$ mit $1$ .

$y = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}}$

Schritt 2.4.1.3.3

Potenziere $\sqrt{1 + x^{2}}$ mit $1$ .

$y = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}}$

Schritt 2.4.1.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}}$

Schritt 2.4.1.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}}$

Schritt 2.4.1.3.6

Schreibe ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ als $1 + x^{2}$ um.

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Schritt 2.4.1.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 + x^{2}}$ als ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.4.1.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.4.1.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.4.1.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.1.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.4.1.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}}$

Schritt 2.4.1.3.6.5

Vereinfache.

$y = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \tan (\arcsin (x))$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\tan (\arcsin (x)))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{(\tan (\arcsin (x))) \sqrt{1 + \tan^{2} (\arcsin (x))}}{1 + \tan^{2} (\arcsin (x))}$

Schritt 4.2.3

Ordne Terme um.

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\tan (\arcsin (x)) \sqrt{1 + \tan^{2} (\arcsin (x))}}{\tan^{2} (\arcsin (x)) + 1}$

Schritt 4.2.4

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\tan (\arcsin (x)) \sqrt{1 + \tan^{2} (\arcsin (x))}}{\sec^{2} (\arcsin (x))}$

Schritt 4.2.5

Faktorisiere $\sec (\arcsin (x))$ aus $\sec^{2} (\arcsin (x))$ heraus.

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\tan (\arcsin (x)) \sqrt{1 + \tan^{2} (\arcsin (x))}}{\sec (\arcsin (x)) \sec (\arcsin (x))}$

Schritt 4.2.6

Separiere Brüche.

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \tan^{2} (\arcsin (x))}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \frac{\tan (\arcsin (x))}{\sec (\arcsin (x))}$

Schritt 4.2.7

Schreibe $\sec (\arcsin (x))$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \tan^{2} (\arcsin (x))}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \frac{\tan (\arcsin (x))}{\frac{1}{\cos (\arcsin (x))}}$

Schritt 4.2.8

Schreibe $\tan (\arcsin (x))$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \tan^{2} (\arcsin (x))}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \frac{\frac{\sin (\arcsin (x))}{\cos (\arcsin (x))}}{\frac{1}{\cos (\arcsin (x))}}$

Schritt 4.2.9

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\cos (\arcsin (x))}$ zu dividieren.

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \tan^{2} (\arcsin (x))}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot (\frac{\sin (\arcsin (x))}{\cos (\arcsin (x))} \cdot \cos (\arcsin (x)))$

Schritt 4.2.10

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.10.1

Schreibe $\cos (\arcsin (x))$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \tan^{2} (\arcsin (x))}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot (\frac{\sin (\arcsin (x))}{\cos (\arcsin (x))} \cdot \frac{\cos (\arcsin (x))}{1})$

Schritt 4.2.10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (\arcsin (x))$ .

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Schritt 4.2.10.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \tan^{2} (\arcsin (x))}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot (\frac{\sin (\arcsin (x))}{\cos (\arcsin (x))} \cdot \frac{\cos (\arcsin (x))}{1})$

Schritt 4.2.10.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \tan^{2} (\arcsin (x))}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.11.1

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ , $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\arcsin (x)$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ verläuft. Folglich ist $\tan (\arcsin (x))$ $\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + {(\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}})}^{2}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.11.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + {(\frac{x}{\sqrt{1^{2} - x^{2}}})}^{2}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = x$ .

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + {(\frac{x}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}})}^{2}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.3

Mutltipliziere $\frac{x}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ mit $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + {(\frac{x}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}})}^{2}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.11.4.1

Mutltipliziere $\frac{x}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ mit $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}})}^{2}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.4.2

Potenziere $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}})}^{2}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.4.3

Potenziere $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}})}^{2}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}})}^{2}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}})}^{2}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.4.6

Schreibe ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ als $(1 + x) (1 - x)$ um.

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Schritt 4.2.11.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ als ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}})}^{2}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.11.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}})}^{2}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)})}^{2}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.4.6.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)})}^{2}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.5

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.2.11.5.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$ an.

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \frac{{(x \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}^{2}}{{((1 + x) (1 - x))}^{2}}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.5.2

Wende die Produktregel auf $x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ an.

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \frac{x^{2} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}}{{((1 + x) (1 - x))}^{2}}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.5.3

Wende die Produktregel auf $(1 + x) (1 - x)$ an.

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \frac{x^{2} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.11.6.1

Schreibe ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ als $(1 + x) (1 - x)$ um.

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Schritt 4.2.11.6.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ als ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \frac{x^{2} {({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.6.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \frac{x^{2} {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.6.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \frac{x^{2} {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.6.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.11.6.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \frac{x^{2} {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.6.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \frac{x^{2} ((1 + x) (1 - x))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.6.1.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \frac{x^{2} ((1 + x) (1 - x))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.6.2

Multipliziere $(1 + x) (1 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.11.6.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 (1 - x) + x (1 - x))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.6.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.6.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.6.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.2.11.6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.11.6.3.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.6.3.1.2

Mutltipliziere $- x$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 - x + x \cdot 1 + x (- x))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.6.3.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 - x + x + x (- x))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.6.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 - x + x - x \cdot x)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.6.3.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.11.6.3.1.5.1

Bewege $x$ .

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 - x + x - (x \cdot x))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.6.3.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 - x + x - x^{2})}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.6.3.2

Addiere $- x$ und $x$ .

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 + 0 - x^{2})}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.6.3.3

Addiere $1$ und $0$ .

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 - x^{2})}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.6.4

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1^{2} - x^{2})}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.6.5

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = x$ .

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1 + x$ und ${(1 + x)}^{2}$ .

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Schritt 4.2.11.7.1

Faktorisiere $1 + x$ aus $x^{2} (1 + x) (1 - x)$ heraus.

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \frac{(1 + x) (x^{2} (1 - x))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.11.7.2.1

Faktorisiere $1 + x$ aus ${(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}$ heraus.

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \frac{(1 + x) (x^{2} (1 - x))}{(1 + x) ((1 + x) {(1 - x)}^{2})}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \frac{(1 + x) (x^{2} (1 - x))}{(1 + x) ((1 + x) {(1 - x)}^{2})}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 - x)}{(1 + x) {(1 - x)}^{2}}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1 - x$ und ${(1 - x)}^{2}$ .

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Schritt 4.2.11.8.1

Faktorisiere $1 - x$ aus $x^{2} (1 - x)$ heraus.

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \frac{(1 - x) x^{2}}{(1 + x) {(1 - x)}^{2}}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.11.8.2.1

Faktorisiere $1 - x$ aus $(1 + x) {(1 - x)}^{2}$ heraus.

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \frac{(1 - x) x^{2}}{(1 - x) ((1 + x) (1 - x))}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \frac{(1 - x) x^{2}}{(1 - x) ((1 + x) (1 - x))}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.9

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{\frac{(1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{\frac{(1 + x) (1 - x) + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.11.11.1

Multipliziere $(1 + x) (1 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.11.11.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{\frac{1 (1 - x) + x (1 - x) + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.11.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{\frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.11.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{\frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.11.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.2.11.11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.11.11.2.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{\frac{1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.11.2.1.2

Mutltipliziere $- x$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{\frac{1 - x + x \cdot 1 + x (- x) + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.11.2.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{\frac{1 - x + x + x (- x) + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.11.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{\frac{1 - x + x - x \cdot x + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.11.2.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.11.11.2.1.5.1

Bewege $x$ .

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{\frac{1 - x + x - (x \cdot x) + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.11.2.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{\frac{1 - x + x - x^{2} + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.11.2.2

Addiere $- x$ und $x$ .

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{\frac{1 + 0 - x^{2} + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.11.2.3

Addiere $1$ und $0$ .

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{\frac{1 - x^{2} + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.11.3

Addiere $- x^{2}$ und $x^{2}$ .

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{\frac{1 + 0}{(1 + x) (1 - x)}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.11.4

Addiere $1$ und $0$ .

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\sqrt{\frac{1}{(1 + x) (1 - x)}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.12

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{(1 + x) (1 - x)}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ um.

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.13

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.14

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ mit $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.15

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.11.15.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ mit $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.15.2

Potenziere $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.15.3

Potenziere $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.15.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.15.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.15.6

Schreibe ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ als $(1 + x) (1 - x)$ um.

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Schritt 4.2.11.15.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ als ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.15.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.15.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.15.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.11.15.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.15.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.11.15.6.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}{\sec (\arcsin (x))} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.12

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.12.1

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.12.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.12.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}{\frac{1}{\sqrt{1^{2} - x^{2}}}} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.12.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = x$ .

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}{\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.12.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ mit $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}{\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.12.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.12.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ mit $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.12.4.2

Potenziere $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.12.4.3

Potenziere $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.12.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}}} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.12.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}}} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.12.4.6

Schreibe ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ als $(1 + x) (1 - x)$ um.

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Schritt 4.2.12.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ als ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.12.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.12.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.12.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.12.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.12.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.12.4.6.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.13

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.13.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$ .

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Schritt 4.2.13.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \frac{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}{\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}} \cdot \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.13.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = 1 \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.13.2

Mutltipliziere $\sin (\arcsin (x))$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = \sin (\arcsin (x))$

Schritt 4.2.14

Die Funktionen Sinus und Arkussinus sind Inverse.

$f^{- 1} (\tan (\arcsin (x))) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) = \tan (\arcsin (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}))$

Schritt 4.3.3

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})}^{2}}, \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})}^{2}}, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\arcsin (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})}^{2}}, \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})$ verläuft. Folglich ist $\tan (\arcsin (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}))$ $\frac{\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})}^{2}}}$ .

$f (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) = \frac{\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})}^{2}}}$

Schritt 4.3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})}^{2}}}$

Schritt 4.3.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.5.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$f (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1^{2} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})}^{2}}}$

Schritt 4.3.5.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ .

$f (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{(1 + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) (1 - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})}}$

Schritt 4.3.5.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.5.3.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{(\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) (1 - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})}}$

Schritt 4.3.5.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot (1 - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})}}$

Schritt 4.3.5.3.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot (\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})}}$

Schritt 4.3.5.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}}}$

Schritt 4.3.5.4

Mutltipliziere $\frac{1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ mit $\frac{1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ .

$f (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}{(1 + x^{2}) (1 + x^{2})}}}$

Schritt 4.3.5.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.5.5.1

Potenziere $1 + x^{2}$ mit $1$ .

Schritt 4.3.5.5.2

Potenziere $1 + x^{2}$ mit $1$ .

Schritt 4.3.5.5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}{{(1 + x^{2})}^{1 + 1}}}}$

Schritt 4.3.5.5.4

Addiere $1$ und $1$ .

$f (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

Schritt 4.3.5.6

Schreibe $\frac{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ als ${(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2} ((1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}}))$ um.

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Schritt 4.3.5.6.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})$ heraus.

$f (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{1^{2} ((1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}}))}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

Schritt 4.3.5.6.2

Faktorisiere die perfekte Potenz ${(1 + x^{2})}^{2}$ aus ${(1 + x^{2})}^{2}$ heraus.

Schritt 4.3.5.6.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} ((1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}}))}{{(1 + x^{2})}^{2} \cdot 1}$ um.

$f (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{{(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2} ((1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}}))}}$

Schritt 4.3.5.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{1 + x^{2}} \cdot \sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}}$

Schritt 4.3.5.8

Kombiniere $\frac{1}{1 + x^{2}}$ und $\sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}$ .

$f (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}}{1 + x^{2}}}$

Schritt 4.3.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot (1 (\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}}))$

Schritt 4.3.7

Mutltipliziere $\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}}$ mit $1$ .

$f (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1 + x^{2}}{\sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}}$

Schritt 4.3.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + x^{2}$ .

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Schritt 4.3.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1 + x^{2}}{\sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}}$

Schritt 4.3.8.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) = x \sqrt{1 + x^{2}} (\frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}})$

Schritt 4.3.9

Kombiniere $\frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}}$ und $x$ .

$f (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) = \frac{x}{\sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}} \cdot \sqrt{1 + x^{2}}$

Schritt 4.3.10

Kombiniere $\frac{x}{\sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}}$ und $\sqrt{1 + x^{2}}$ .

$f (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}}$

Schritt 4.3.11

Mutltipliziere $\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}}$ mit $\frac{\sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}}{\sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}}$ .

$f (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}}{\sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}}$

Schritt 4.3.12

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.12.1

$f (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}}{\sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})} \sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}}$

Schritt 4.3.12.2

Potenziere $\sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}$ mit $1$ .

Schritt 4.3.12.3

Potenziere $\sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}$ mit $1$ .

Schritt 4.3.12.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}}{{\sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.3.12.5

Addiere $1$ und $1$ .

Schritt 4.3.12.6

Schreibe ${\sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}}^{2}$ als $(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})$ um.

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Schritt 4.3.12.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}$ als ${((1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}}))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}}{{({((1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}}))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.3.12.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}}{{((1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}}))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.3.12.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

Schritt 4.3.12.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.12.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 4.3.12.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}}{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}$

Schritt 4.3.12.6.5

Vereinfache.

Schritt 4.3.13

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$f (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) = \frac{x \sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2})}}{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}$

Schritt 4.3.14

Mutltipliziere $\frac{x \sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2})}}{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}$ mit $\frac{1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}}}$ .

Schritt 4.3.15

$f (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) = \frac{x \sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2})} (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}$

Schritt 4.3.16

Stelle um.

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Schritt 4.3.16.1

Bewege $1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}$ .

$f (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) = \frac{x \sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2})} (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}{(1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}}) ((1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}}))}$

Schritt 4.3.16.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$f (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) = \frac{x \sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2})} (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}})}{(1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - (x \sqrt{1 + x^{2}}) + x^{2} + x^{4} + x^{3} (- \sqrt{1 + x^{2}}) + x \sqrt{1 + x^{2}} + x^{3} \sqrt{1 + x^{2}} + x^{2} (- {\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}))}$

Schritt 4.3.16.3

Vereinfache.

Schritt 4.3.17

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}}$ .

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Schritt 4.3.17.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 4.3.17.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}) = \frac{x \sqrt{(1 + x^{2} + x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2} - x \sqrt{1 + x^{2}}) (1 + x^{2})}}{x^{2} + 1}$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \tan (\arcsin (x))$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$