Gib eine Aufgabe ein ...
Trigonometrie Beispiele
Schritt 1
Vertausche die Variablen.
Schritt 2
Schritt 2.1
Schreibe die Gleichung als um.
Schritt 2.2
Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Tangens herauszuziehen.
Schritt 2.3
Nimm den inversen Arcussinus von beiden Seiten der Gleichung, um aus dem Arcussinus zu ziehen.
Schritt 2.4
Vereinfache die rechte Seite.
Schritt 2.4.1
Vereinfache .
Schritt 2.4.1.1
Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten , und dem Ursprung. Dann ist der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch verläuft. Folglich ist .
Schritt 2.4.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.4.1.3
Vereinige und vereinfache den Nenner.
Schritt 2.4.1.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.4.1.3.2
Potenziere mit .
Schritt 2.4.1.3.3
Potenziere mit .
Schritt 2.4.1.3.4
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 2.4.1.3.5
Addiere und .
Schritt 2.4.1.3.6
Schreibe als um.
Schritt 2.4.1.3.6.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 2.4.1.3.6.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 2.4.1.3.6.3
Kombiniere und .
Schritt 2.4.1.3.6.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 2.4.1.3.6.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.4.1.3.6.4.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 2.4.1.3.6.5
Vereinfache.
Schritt 3
Replace with to show the final answer.
Schritt 4
Schritt 4.1
Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob ist und ist.
Schritt 4.2
Berechne .
Schritt 4.2.1
Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.
Schritt 4.2.2
Berechne durch Einsetzen des Wertes von in .
Schritt 4.2.3
Ordne Terme um.
Schritt 4.2.4
Wende den trigonometrischen Pythagoras an.
Schritt 4.2.5
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.2.6
Separiere Brüche.
Schritt 4.2.7
Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um.
Schritt 4.2.8
Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um.
Schritt 4.2.9
Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch zu dividieren.
Schritt 4.2.10
Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.
Schritt 4.2.10.1
Schreibe als einen Bruch mit dem Nenner .
Schritt 4.2.10.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 4.2.10.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.2.10.2.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.2.11
Vereinfache den Zähler.
Schritt 4.2.11.1
Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten , und dem Ursprung. Dann ist der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch verläuft. Folglich ist .
Schritt 4.2.11.2
Vereinfache den Nenner.
Schritt 4.2.11.2.1
Schreibe als um.
Schritt 4.2.11.2.2
Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, , mit und .
Schritt 4.2.11.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.11.4
Vereinige und vereinfache den Nenner.
Schritt 4.2.11.4.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.11.4.2
Potenziere mit .
Schritt 4.2.11.4.3
Potenziere mit .
Schritt 4.2.11.4.4
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 4.2.11.4.5
Addiere und .
Schritt 4.2.11.4.6
Schreibe als um.
Schritt 4.2.11.4.6.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 4.2.11.4.6.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 4.2.11.4.6.3
Kombiniere und .
Schritt 4.2.11.4.6.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 4.2.11.4.6.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.2.11.4.6.4.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.2.11.4.6.5
Vereinfache.
Schritt 4.2.11.5
Wende die Exponentenregel an, um den Exponenten zu verteilen.
Schritt 4.2.11.5.1
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 4.2.11.5.2
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 4.2.11.5.3
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 4.2.11.6
Vereinfache den Zähler.
Schritt 4.2.11.6.1
Schreibe als um.
Schritt 4.2.11.6.1.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 4.2.11.6.1.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 4.2.11.6.1.3
Kombiniere und .
Schritt 4.2.11.6.1.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 4.2.11.6.1.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.2.11.6.1.4.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.2.11.6.1.5
Vereinfache.
Schritt 4.2.11.6.2
Multipliziere aus unter Verwendung der FOIL-Methode.
Schritt 4.2.11.6.2.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 4.2.11.6.2.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 4.2.11.6.2.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 4.2.11.6.3
Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.
Schritt 4.2.11.6.3.1
Vereinfache jeden Term.
Schritt 4.2.11.6.3.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.11.6.3.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.11.6.3.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.11.6.3.1.4
Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.
Schritt 4.2.11.6.3.1.5
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Schritt 4.2.11.6.3.1.5.1
Bewege .
Schritt 4.2.11.6.3.1.5.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.11.6.3.2
Addiere und .
Schritt 4.2.11.6.3.3
Addiere und .
Schritt 4.2.11.6.4
Schreibe als um.
Schritt 4.2.11.6.5
Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, , mit und .
Schritt 4.2.11.7
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Schritt 4.2.11.7.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.2.11.7.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Schritt 4.2.11.7.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.2.11.7.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.2.11.7.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.2.11.8
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Schritt 4.2.11.8.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.2.11.8.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Schritt 4.2.11.8.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.2.11.8.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.2.11.8.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.2.11.9
Schreibe als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.2.11.10
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.2.11.11
Vereinfache den Zähler.
Schritt 4.2.11.11.1
Multipliziere aus unter Verwendung der FOIL-Methode.
Schritt 4.2.11.11.1.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 4.2.11.11.1.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 4.2.11.11.1.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 4.2.11.11.2
Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.
Schritt 4.2.11.11.2.1
Vereinfache jeden Term.
Schritt 4.2.11.11.2.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.11.11.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.11.11.2.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.11.11.2.1.4
Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.
Schritt 4.2.11.11.2.1.5
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Schritt 4.2.11.11.2.1.5.1
Bewege .
Schritt 4.2.11.11.2.1.5.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.11.11.2.2
Addiere und .
Schritt 4.2.11.11.2.3
Addiere und .
Schritt 4.2.11.11.3
Addiere und .
Schritt 4.2.11.11.4
Addiere und .
Schritt 4.2.11.12
Schreibe als um.
Schritt 4.2.11.13
Jede Wurzel von ist .
Schritt 4.2.11.14
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.11.15
Vereinige und vereinfache den Nenner.
Schritt 4.2.11.15.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.11.15.2
Potenziere mit .
Schritt 4.2.11.15.3
Potenziere mit .
Schritt 4.2.11.15.4
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 4.2.11.15.5
Addiere und .
Schritt 4.2.11.15.6
Schreibe als um.
Schritt 4.2.11.15.6.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 4.2.11.15.6.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 4.2.11.15.6.3
Kombiniere und .
Schritt 4.2.11.15.6.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 4.2.11.15.6.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.2.11.15.6.4.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.2.11.15.6.5
Vereinfache.
Schritt 4.2.12
Vereinfache den Nenner.
Schritt 4.2.12.1
Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten , und dem Ursprung. Dann ist der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch verläuft. Folglich ist .
Schritt 4.2.12.2
Vereinfache den Nenner.
Schritt 4.2.12.2.1
Schreibe als um.
Schritt 4.2.12.2.2
Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, , mit und .
Schritt 4.2.12.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.12.4
Vereinige und vereinfache den Nenner.
Schritt 4.2.12.4.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.12.4.2
Potenziere mit .
Schritt 4.2.12.4.3
Potenziere mit .
Schritt 4.2.12.4.4
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 4.2.12.4.5
Addiere und .
Schritt 4.2.12.4.6
Schreibe als um.
Schritt 4.2.12.4.6.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 4.2.12.4.6.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 4.2.12.4.6.3
Kombiniere und .
Schritt 4.2.12.4.6.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 4.2.12.4.6.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.2.12.4.6.4.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.2.12.4.6.5
Vereinfache.
Schritt 4.2.13
Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.
Schritt 4.2.13.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 4.2.13.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.2.13.1.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.2.13.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.14
Die Funktionen Sinus und Arkussinus sind Inverse.
Schritt 4.3
Berechne .
Schritt 4.3.1
Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.
Schritt 4.3.2
Berechne durch Einsetzen des Wertes von in .
Schritt 4.3.3
Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten , und dem Ursprung. Dann ist der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch verläuft. Folglich ist .
Schritt 4.3.4
Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.
Schritt 4.3.5
Vereinfache den Nenner.
Schritt 4.3.5.1
Schreibe als um.
Schritt 4.3.5.2
Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, , mit und .
Schritt 4.3.5.3
Vereinfache.
Schritt 4.3.5.3.1
Schreibe als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.3.5.3.2
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.3.5.3.3
Schreibe als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.3.5.3.4
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.3.5.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.3.5.5
Vereinfache den Nenner.
Schritt 4.3.5.5.1
Potenziere mit .
Schritt 4.3.5.5.2
Potenziere mit .
Schritt 4.3.5.5.3
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 4.3.5.5.4
Addiere und .
Schritt 4.3.5.6
Schreibe als um.
Schritt 4.3.5.6.1
Faktorisiere die perfekte Potenz aus heraus.
Schritt 4.3.5.6.2
Faktorisiere die perfekte Potenz aus heraus.
Schritt 4.3.5.6.3
Ordne den Bruch um.
Schritt 4.3.5.7
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.
Schritt 4.3.5.8
Kombiniere und .
Schritt 4.3.6
Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.
Schritt 4.3.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.3.8
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 4.3.8.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.3.8.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.3.9
Kombiniere und .
Schritt 4.3.10
Kombiniere und .
Schritt 4.3.11
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.3.12
Vereinige und vereinfache den Nenner.
Schritt 4.3.12.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.3.12.2
Potenziere mit .
Schritt 4.3.12.3
Potenziere mit .
Schritt 4.3.12.4
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 4.3.12.5
Addiere und .
Schritt 4.3.12.6
Schreibe als um.
Schritt 4.3.12.6.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 4.3.12.6.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 4.3.12.6.3
Kombiniere und .
Schritt 4.3.12.6.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 4.3.12.6.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.3.12.6.4.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.3.12.6.5
Vereinfache.
Schritt 4.3.13
Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.
Schritt 4.3.14
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.3.15
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.3.16
Stelle um.
Schritt 4.3.16.1
Bewege .
Schritt 4.3.16.2
Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.
Schritt 4.3.16.3
Vereinfache.
Schritt 4.3.17
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 4.3.17.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.3.17.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.4
Da und gleich sind, ist die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von .