Trigonometrie Beispiele

$x = y^{2} - 2 y$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $y^{2} - 2 y = x$ um.

$y^{2} - 2 y = x$

Schritt 2

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} - 2 y - x = 0$

Schritt 3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 2$ und $c = - x$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 + 4 x$ heraus.

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Schritt 5.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.3.2

Faktorisiere $4$ aus $4 \cdot 1 + 4 x$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1 + x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.4

Schreibe $4 (1 + x)$ als $2^{2} (1^{2} + x)$ um.

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Schritt 5.1.4.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.4.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} + x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1^{2} + x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{1 + x}$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 + 4 x$ heraus.

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Schritt 6.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.3.2

Faktorisiere $4$ aus $4 \cdot 1 + 4 x$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1 + x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.4

Schreibe $4 (1 + x)$ als $2^{2} (1^{2} + x)$ um.

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Schritt 6.1.4.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.4.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} + x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1^{2} + x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{1 + x}$

Schritt 6.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = 1 + \sqrt{1 + x}$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 + 4 x$ heraus.

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Schritt 7.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.3.2

Faktorisiere $4$ aus $4 \cdot 1 + 4 x$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1 + x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.4

Schreibe $4 (1 + x)$ als $2^{2} (1^{2} + x)$ um.

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Schritt 7.1.4.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.4.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} + x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1^{2} + x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{1 + x}$

Schritt 7.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = 1 - \sqrt{1 + x}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = 1 + \sqrt{1 + x}$

$y = 1 - \sqrt{1 + x}$

Schritt 9

Tausche die Variablen aus. Erstelle für jeden Ausdruck eine Gleichung.

$x = 1 + \sqrt{1 + y}, x = 1 - \sqrt{1 + y}$

Schritt 10

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 10.1

Schreibe die Gleichung als $1 + \sqrt{1 + y} = x$ um.

$1 + \sqrt{1 + y} = x$

Schritt 10.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{1 + y} = x - 1$

Schritt 10.3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{1 + y}}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Schritt 10.4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 10.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 + y}$ als ${(1 + y)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(1 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Schritt 10.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.4.2.1

Vereinfache ${({(1 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 10.4.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(1 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 10.4.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

Schritt 10.4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(1 + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

Schritt 10.4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(1 + y)}^{1} = {(x - 1)}^{2}$

Schritt 10.4.2.1.2

Vereinfache.

$1 + y = {(x - 1)}^{2}$

Schritt 10.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.4.3.1

Vereinfache ${(x - 1)}^{2}$ .

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Schritt 10.4.3.1.1

Schreibe ${(x - 1)}^{2}$ als $(x - 1) (x - 1)$ um.

$1 + y = (x - 1) (x - 1)$

Schritt 10.4.3.1.2

Multipliziere $(x - 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 10.4.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 + y = x (x - 1) - 1 (x - 1)$

Schritt 10.4.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 + y = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)$

Schritt 10.4.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 + y = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Schritt 10.4.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 10.4.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.4.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$1 + y = x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Schritt 10.4.3.1.3.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$1 + y = x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Schritt 10.4.3.1.3.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$1 + y = x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Schritt 10.4.3.1.3.1.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$1 + y = x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1$

Schritt 10.4.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 + y = x^{2} - x - x + 1$

Schritt 10.4.3.1.3.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$1 + y = x^{2} - 2 x + 1$

Schritt 10.5

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 10.5.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = x^{2} - 2 x + 1 - 1$

Schritt 10.5.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} - 2 x + 1 - 1$ .

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Schritt 10.5.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$y = x^{2} - 2 x + 0$

Schritt 10.5.2.2

Addiere $x^{2} - 2 x$ und $0$ .

$y = x^{2} - 2 x$

Schritt 11

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$

Schritt 12

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}, 1 - \sqrt{1 + x}$ ist.

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Schritt 12.1

Der Definitionsbereich der Inversen (Umkehrfunktion) ist der Wertebereich der ursprünglichen Funktion und umgekehrt. Finde den Definitionsbereich und den Wertebereich von $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}, 1 - \sqrt{1 + x}$ und $f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$ und vergleiche sie.

Schritt 12.2

Finde den Wertebereich von $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}, 1 - \sqrt{1 + x}$ .

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Schritt 12.2.1

Finde den Wertebereich von $1 + \sqrt{1 + x}$ .

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Schritt 12.2.1.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$[1, \infty)$

Schritt 12.2.2

Finde den Wertebereich von $1 - \sqrt{1 + x}$ .

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Schritt 12.2.2.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 1]$

Schritt 12.2.3

Finde die Union (Vereinigung) von $[1, \infty), (- \infty, 1]$ .

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Schritt 12.2.3.1

Die Vereinigungsmenge besteht aus allen Elementen, die in jedem Intervall enthalten sind.

$(- \infty, \infty)$

Schritt 12.3

Bestimme den Definitionsbereich von $1 + \sqrt{1 + x}$ .

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Schritt 12.3.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{1 + x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$1 + x \geq 0$

Schritt 12.3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x \geq - 1$

Schritt 12.3.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[- 1, \infty)$

Schritt 12.4

Da der Definitionsbereich von $f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$ der Wertebereich von $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}, 1 - \sqrt{1 + x}$ ist und der Wertebereich von $f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$ der Definitionsbereich von $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}, 1 - \sqrt{1 + x}$ ist, ist $f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$ die inverse Funktion von $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}, 1 - \sqrt{1 + x}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$

Schritt 13