Trigonometrie Beispiele

$x + 8 = 4 y$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $4 y = x + 8$ um.

$4 y = x + 8$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $4 y = x + 8$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y = x + 8$ durch $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{x}{4} + \frac{8}{4}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y}{4} = \frac{x}{4} + \frac{8}{4}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x}{4} + \frac{8}{4}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Dividiere $8$ durch $4$ .

$y = \frac{x}{4} + 2$

Schritt 3

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{y}{4} + 2$

Schritt 4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{y}{4} + 2 = x$ um.

$\frac{y}{4} + 2 = x$

Schritt 4.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y}{4} = x - 2$

Schritt 4.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $4$ .

$4 \frac{y}{4} = 4 (x - 2)$

Schritt 4.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 4.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{y}{4} = 4 (x - 2)$

Schritt 4.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 4 (x - 2)$

Schritt 4.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.2.1

Vereinfache $4 (x - 2)$ .

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Schritt 4.4.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 4 x + 4 \cdot - 2$

Schritt 4.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$y = 4 x - 8$

Schritt 5

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 4 x - 8$

Schritt 6

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 4 x - 8$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{x}{4} + 2$ ist.

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Schritt 6.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 6.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 6.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 6.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{x}{4} + 2)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{4} + 2) = 4 (\frac{x}{4} + 2) - 8$

Schritt 6.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{x}{4} + 2) = 4 (\frac{x}{4}) + 4 \cdot 2 - 8$

Schritt 6.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{x}{4} + 2) = 4 (\frac{x}{4}) + 4 \cdot 2 - 8$

Schritt 6.2.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{x}{4} + 2) = x + 4 \cdot 2 - 8$

Schritt 6.2.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{4} + 2) = x + 8 - 8$

Schritt 6.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 8 - 8$ .

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Schritt 6.2.4.1

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{4} + 2) = x + 0$

Schritt 6.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{4} + 2) = x$

Schritt 6.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 6.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 6.3.2

Berechne $f (4 x - 8)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (4 x - 8) = \frac{4 x - 8}{4} + 2$

Schritt 6.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4 x - 8$ und $4$ .

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Schritt 6.3.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$f (4 x - 8) = \frac{4 (x) - 8}{4} + 2$

Schritt 6.3.3.2

Faktorisiere $4$ aus $- 8$ heraus.

$f (4 x - 8) = \frac{4 (x) + 4 \cdot - 2}{4} + 2$

Schritt 6.3.3.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (x) + 4 (- 2)$ heraus.

$f (4 x - 8) = \frac{4 (x - 2)}{4} + 2$

Schritt 6.3.3.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.3.4.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$f (4 x - 8) = \frac{4 (x - 2)}{4 (1)} + 2$

Schritt 6.3.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (4 x - 8) = \frac{4 (x - 2)}{4 \cdot 1} + 2$

Schritt 6.3.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (4 x - 8) = \frac{x - 2}{1} + 2$

Schritt 6.3.3.4.4

Dividiere $x - 2$ durch $1$ .

$f (4 x - 8) = x - 2 + 2$

Schritt 6.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 2 + 2$ .

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Schritt 6.3.4.1

Addiere $- 2$ und $2$ .

$f (4 x - 8) = x + 0$

Schritt 6.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (4 x - 8) = x$

Schritt 6.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = 4 x - 8$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{x}{4} + 2$ .

$f^{- 1} (x) = 4 x - 8$