Trigonometrie Beispiele

$- \tan (x + 7) - 4$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = - \tan (y + 7) - 4$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $- \tan (y + 7) - 4 = x$ um.

$- \tan (y + 7) - 4 = x$

Schritt 2.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- \tan (y + 7) = x + 4$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $- \tan (y + 7) = x + 4$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- \tan (y + 7) = x + 4$ durch $- 1$ .

$\frac{- \tan (y + 7)}{- 1} = \frac{x}{- 1} + \frac{4}{- 1}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\tan (y + 7)}{1} = \frac{x}{- 1} + \frac{4}{- 1}$

Schritt 2.3.2.2

Dividiere $\tan (y + 7)$ durch $1$ .

$\tan (y + 7) = \frac{x}{- 1} + \frac{4}{- 1}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{x}{- 1}$ .

$\tan (y + 7) = - 1 \cdot x + \frac{4}{- 1}$

Schritt 2.3.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot x$ als $- x$ um.

$\tan (y + 7) = - x + \frac{4}{- 1}$

Schritt 2.3.3.1.3

Dividiere $4$ durch $- 1$ .

$\tan (y + 7) = - x - 4$

Schritt 2.4

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$y + 7 = \arctan (- x - 4)$

Schritt 2.5

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = \arctan (- x - 4) - 7$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \arctan (- x - 4) - 7$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \arctan (- x - 4) - 7$ die Umkehrfunktion von $f (x) = - \tan (x + 7) - 4$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (- \tan (x + 7) - 4)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \tan (x + 7) - 4) = \arctan (- (- \tan (x + 7) - 4) - 4) - 7$

Schritt 4.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (- \tan (x + 7) - 4) = \arctan (\tan (x + 7) + 4 - 4) - 7$

Schritt 4.2.3.1.2

Multipliziere $- - \tan (x + 7)$ .

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Schritt 4.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (- \tan (x + 7) - 4) = \arctan (1 \tan (x + 7) + 4 - 4) - 7$

Schritt 4.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $\tan (x + 7)$ mit $1$ .

$f^{- 1} (- \tan (x + 7) - 4) = \arctan (\tan (x + 7) + 4 - 4) - 7$

Schritt 4.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$f^{- 1} (- \tan (x + 7) - 4) = \arctan (\tan (x + 7) + 4 - 4) - 7$

Schritt 4.2.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\tan (x + 7) + 4 - 4$ .

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Schritt 4.2.3.2.1

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$f^{- 1} (- \tan (x + 7) - 4) = \arctan (\tan (x + 7) + 0) - 7$

Schritt 4.2.3.2.2

Addiere $\tan (x + 7)$ und $0$ .

$f^{- 1} (- \tan (x + 7) - 4) = \arctan (\tan (x + 7)) - 7$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\arctan (- x - 4) - 7)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\arctan (- x - 4) - 7) = - \tan ((\arctan (- x - 4) - 7) + 7) - 4$

Schritt 4.3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- \tan ((\arctan (- x - 4) - 7) + 7) - 4$ .

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Schritt 4.3.3.1

Addiere $- 7$ und $7$ .

$f (\arctan (- x - 4) - 7) = - \tan (\arctan (- x - 4) + 0) - 4$

Schritt 4.3.3.2

Addiere $\arctan (- x - 4)$ und $0$ .

$f (\arctan (- x - 4) - 7) = - \tan (\arctan (- x - 4)) - 4$

Schritt 4.3.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.4.1

Die Funktionen Tangens und Arkustangens sind Inverse.

$f (\arctan (- x - 4) - 7) = - (- x - 4) - 4$

Schritt 4.3.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\arctan (- x - 4) - 7) = x + 4 - 4$

Schritt 4.3.4.3

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 4.3.4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (\arctan (- x - 4) - 7) = 1 x + 4 - 4$

Schritt 4.3.4.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (\arctan (- x - 4) - 7) = x + 4 - 4$

Schritt 4.3.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$f (\arctan (- x - 4) - 7) = x + 4 - 4$

Schritt 4.3.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 4 - 4$ .

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Schritt 4.3.5.1

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$f (\arctan (- x - 4) - 7) = x + 0$

Schritt 4.3.5.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\arctan (- x - 4) - 7) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \arctan (- x - 4) - 7$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = - \tan (x + 7) - 4$ .

$f^{- 1} (x) = \arctan (- x - 4) - 7$