Trigonometrie Beispiele

$\frac{\tan (x) \cdot 5}{8}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{\tan (y) \cdot 5}{8}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{\tan (y) \cdot 5}{8} = x$ um.

$\frac{\tan (y) \cdot 5}{8} = x$

Schritt 2.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{8}{5}$ .

$\frac{8}{5} \cdot \frac{\tan (y) \cdot 5}{8} = \frac{8}{5} x$

Schritt 2.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1.1

Vereinfache $\frac{8}{5} \cdot \frac{\tan (y) \cdot 5}{8}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 2.3.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8}{5} \cdot \frac{\tan (y) \cdot 5}{8} = \frac{8}{5} x$

Schritt 2.3.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{5} (\tan (y) \cdot 5) = \frac{8}{5} x$

Schritt 2.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.3.1.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $\tan (y) \cdot 5$ heraus.

$\frac{1}{5} (5 \cdot \tan (y)) = \frac{8}{5} x$

Schritt 2.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{5} (5 \cdot \tan (y)) = \frac{8}{5} x$

Schritt 2.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\tan (y) = \frac{8}{5} x$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kombiniere $\frac{8}{5}$ und $x$ .

$\tan (y) = \frac{8 x}{5}$

Schritt 2.4

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$y = \arctan (\frac{8 x}{5})$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \arctan (\frac{8 x}{5})$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \arctan (\frac{8 x}{5})$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{\tan (x) \cdot 5}{8}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{\tan (x) \cdot 5}{8})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{\tan (x) \cdot 5}{8}) = \arctan (\frac{8 (\frac{\tan (x) \cdot 5}{8})}{5})$

Schritt 4.2.3

Kombiniere $8$ und $\frac{\tan (x) \cdot 5}{8}$ .

$f^{- 1} (\frac{\tan (x) \cdot 5}{8}) = \arctan (\frac{\frac{8 (\tan (x) \cdot 5)}{8}}{5})$

Schritt 4.2.4

Mutltipliziere $5$ mit $8$ .

$f^{- 1} (\frac{\tan (x) \cdot 5}{8}) = \arctan (\frac{\frac{40 \tan (x)}{8}}{5})$

Schritt 4.2.5

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.5.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{40 \tan (x)}{8}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.5.1.1

Faktorisiere $8$ aus $40 \tan (x)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{\tan (x) \cdot 5}{8}) = \arctan (\frac{\frac{8 (5 \tan (x))}{8}}{5})$

Schritt 4.2.5.1.2

Faktorisiere $8$ aus $8$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{\tan (x) \cdot 5}{8}) = \arctan (\frac{\frac{8 (5 \tan (x))}{8 (1)}}{5})$

Schritt 4.2.5.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{\tan (x) \cdot 5}{8}) = \arctan (\frac{\frac{8 (5 \tan (x))}{8 \cdot 1}}{5})$

Schritt 4.2.5.1.4

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{\tan (x) \cdot 5}{8}) = \arctan (\frac{\frac{5 \tan (x)}{1}}{5})$

Schritt 4.2.5.2

Dividiere $5 \tan (x)$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{\tan (x) \cdot 5}{8}) = \arctan (\frac{5 \tan (x)}{5})$

Schritt 4.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{\tan (x) \cdot 5}{8}) = \arctan (\frac{5 \tan (x)}{5})$

Schritt 4.2.6.2

Dividiere $\tan (x)$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{\tan (x) \cdot 5}{8}) = \arctan (\tan (x))$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\arctan (\frac{8 x}{5}))$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\arctan (\frac{8 x}{5})) = \frac{\tan (\arctan (\frac{8 x}{5})) \cdot 5}{8}$

Schritt 4.3.3

Die Funktionen Tangens und Arkustangens sind Inverse.

$f (\arctan (\frac{8 x}{5})) = \frac{\frac{8 x}{5} \cdot 5}{8}$

Schritt 4.3.4

Kombiniere $\frac{8 x}{5}$ und $5$ .

$f (\arctan (\frac{8 x}{5})) = \frac{\frac{8 x \cdot 5}{5}}{8}$

Schritt 4.3.5

Mutltipliziere $5$ mit $8$ .

$f (\arctan (\frac{8 x}{5})) = \frac{\frac{40 x}{5}}{8}$

Schritt 4.3.6

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.6.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{40 x}{5}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.6.1.1

Faktorisiere $5$ aus $40 x$ heraus.

$f (\arctan (\frac{8 x}{5})) = \frac{\frac{5 (8 x)}{5}}{8}$

Schritt 4.3.6.1.2

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$f (\arctan (\frac{8 x}{5})) = \frac{\frac{5 (8 x)}{5 (1)}}{8}$

Schritt 4.3.6.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\arctan (\frac{8 x}{5})) = \frac{\frac{5 (8 x)}{5 \cdot 1}}{8}$

Schritt 4.3.6.1.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\arctan (\frac{8 x}{5})) = \frac{\frac{8 x}{1}}{8}$

Schritt 4.3.6.2

Dividiere $8 x$ durch $1$ .

$f (\arctan (\frac{8 x}{5})) = \frac{8 x}{8}$

Schritt 4.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 4.3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\arctan (\frac{8 x}{5})) = \frac{8 x}{8}$

Schritt 4.3.7.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (\arctan (\frac{8 x}{5})) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \arctan (\frac{8 x}{5})$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{\tan (x) \cdot 5}{8}$ .

$f^{- 1} (x) = \arctan (\frac{8 x}{5})$