Trigonometrie Beispiele

$y = 2 \ln (x - 5)$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = 2 \ln (y - 5)$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $2 \ln (y - 5) = x$ um.

$2 \ln (y - 5) = x$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 \ln (y - 5) = x$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \ln (y - 5) = x$ durch $2$ .

$\frac{2 \ln (y - 5)}{2} = \frac{x}{2}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \ln (y - 5)}{2} = \frac{x}{2}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $\ln (y - 5)$ durch $1$ .

$\ln (y - 5) = \frac{x}{2}$

Schritt 2.3

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (y - 5)} = e^{\frac{x}{2}}$

Schritt 2.4

Schreibe $\ln (y - 5) = \frac{x}{2}$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{x}{2}} = y - 5$

Schritt 2.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.5.1

Schreibe die Gleichung als $y - 5 = e^{\frac{x}{2}}$ um.

$y - 5 = e^{\frac{x}{2}}$

Schritt 2.5.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = e^{\frac{x}{2}} + 5$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = e^{\frac{x}{2}} + 5$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = e^{\frac{x}{2}} + 5$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 2 \ln (x - 5)$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (2 \ln (x - 5))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 \ln (x - 5)) = e^{\frac{2 \ln (x - 5)}{2}} + 5$

Schritt 4.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (2 \ln (x - 5)) = e^{\frac{2 \ln (x - 5)}{2}} + 5$

Schritt 4.2.3.1.2

Dividiere $\ln (x - 5)$ durch $1$ .

$f^{- 1} (2 \ln (x - 5)) = e^{\ln (x - 5)} + 5$

Schritt 4.2.3.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f^{- 1} (2 \ln (x - 5)) = x - 5 + 5$

Schritt 4.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 5 + 5$ .

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Schritt 4.2.4.1

Addiere $- 5$ und $5$ .

$f^{- 1} (2 \ln (x - 5)) = x + 0$

Schritt 4.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (2 \ln (x - 5)) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (e^{\frac{x}{2}} + 5)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (e^{\frac{x}{2}} + 5) = 2 \ln ((e^{\frac{x}{2}} + 5) - 5)$

Schritt 4.3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $(e^{\frac{x}{2}} + 5) - 5$ .

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Schritt 4.3.3.1

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$f (e^{\frac{x}{2}} + 5) = 2 \ln (e^{\frac{x}{2}} + 0)$

Schritt 4.3.3.2

Addiere $e^{\frac{x}{2}}$ und $0$ .

$f (e^{\frac{x}{2}} + 5) = 2 \ln (e^{\frac{x}{2}})$

Schritt 4.3.4

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $\frac{x}{2}$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f (e^{\frac{x}{2}} + 5) = 2 (\frac{x}{2} \cdot \ln (e))$

Schritt 4.3.5

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$f (e^{\frac{x}{2}} + 5) = 2 (\frac{x}{2} \cdot 1)$

Schritt 4.3.6

Mutltipliziere $\frac{x}{2}$ mit $1$ .

$f (e^{\frac{x}{2}} + 5) = 2 (\frac{x}{2})$

Schritt 4.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (e^{\frac{x}{2}} + 5) = 2 (\frac{x}{2})$

Schritt 4.3.7.2

Forme den Ausdruck um.

$f (e^{\frac{x}{2}} + 5) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = e^{\frac{x}{2}} + 5$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 2 \ln (x - 5)$ .

$f^{- 1} (x) = e^{\frac{x}{2}} + 5$