Trigonometrie Beispiele

$y = 2 + \sqrt{6 x - 5}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = 2 + \sqrt{6 y - 5}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $2 + \sqrt{6 y - 5} = x$ um.

$2 + \sqrt{6 y - 5} = x$

Schritt 2.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{6 y - 5} = x - 2$

Schritt 2.3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{6 y - 5}}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 2.4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6 y - 5}$ als ${(6 y - 5)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(6 y - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache ${({(6 y - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(6 y - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.4.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(6 y - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 2.4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(6 y - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 2.4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(6 y - 5)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 2.4.2.1.2

Vereinfache.

$6 y - 5 = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.3.1

Vereinfache ${(x - 2)}^{2}$ .

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Schritt 2.4.3.1.1

Schreibe ${(x - 2)}^{2}$ als $(x - 2) (x - 2)$ um.

$6 y - 5 = (x - 2) (x - 2)$

Schritt 2.4.3.1.2

Multipliziere $(x - 2) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.4.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 y - 5 = x (x - 2) - 2 (x - 2)$

Schritt 2.4.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$6 y - 5 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)$

Schritt 2.4.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$6 y - 5 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Schritt 2.4.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.4.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$6 y - 5 = x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Schritt 2.4.3.1.3.1.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$6 y - 5 = x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2$

Schritt 2.4.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$6 y - 5 = x^{2} - 2 x - 2 x + 4$

Schritt 2.4.3.1.3.2

Subtrahiere $2 x$ von $- 2 x$ .

$6 y - 5 = x^{2} - 4 x + 4$

Schritt 2.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.5.1.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$6 y = x^{2} - 4 x + 4 + 5$

Schritt 2.5.1.2

Addiere $4$ und $5$ .

$6 y = x^{2} - 4 x + 9$

Schritt 2.5.2

Teile jeden Ausdruck in $6 y = x^{2} - 4 x + 9$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $6 y = x^{2} - 4 x + 9$ durch $6$ .

$\frac{6 y}{6} = \frac{x^{2}}{6} + \frac{- 4 x}{6} + \frac{9}{6}$

Schritt 2.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 2.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 y}{6} = \frac{x^{2}}{6} + \frac{- 4 x}{6} + \frac{9}{6}$

Schritt 2.5.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{- 4 x}{6} + \frac{9}{6}$

Schritt 2.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $6$ .

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Schritt 2.5.2.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4 x$ heraus.

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{2 (- 2 x)}{6} + \frac{9}{6}$

Schritt 2.5.2.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.5.2.3.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{2 (- 2 x)}{2 (3)} + \frac{9}{6}$

Schritt 2.5.2.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{2 (- 2 x)}{2 \cdot 3} + \frac{9}{6}$

Schritt 2.5.2.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{- 2 x}{3} + \frac{9}{6}$

Schritt 2.5.2.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{9}{6}$

Schritt 2.5.2.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $6$ .

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Schritt 2.5.2.3.1.3.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$y = \frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3 (3)}{6}$

Schritt 2.5.2.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.5.2.3.1.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$y = \frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2}$

Schritt 2.5.2.3.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2}$

Schritt 2.5.2.3.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 2 + \sqrt{6 x - 5}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{{(2 + \sqrt{6 x - 5})}^{2}}{6} - \frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5})}{3} + \frac{3}{2}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.1

Schreibe ${(2 + \sqrt{6 x - 5})}^{2}$ als $(2 + \sqrt{6 x - 5}) (2 + \sqrt{6 x - 5})$ um.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{(2 + \sqrt{6 x - 5}) (2 + \sqrt{6 x - 5})}{6} - \frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5})}{3} + \frac{3}{2}$

Schritt 4.2.3.2

Multipliziere $(2 + \sqrt{6 x - 5}) (2 + \sqrt{6 x - 5})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5}) + \sqrt{6 x - 5} (2 + \sqrt{6 x - 5})}{6} - \frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5})}{3} + \frac{3}{2}$

Schritt 4.2.3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{6 x - 5} + \sqrt{6 x - 5} (2 + \sqrt{6 x - 5})}{6} - \frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5})}{3} + \frac{3}{2}$

Schritt 4.2.3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{6 x - 5} + \sqrt{6 x - 5} \cdot 2 + \sqrt{6 x - 5} \sqrt{6 x - 5}}{6} - \frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5})}{3} + \frac{3}{2}$

Schritt 4.2.3.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.2.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{4 + 2 \sqrt{6 x - 5} + \sqrt{6 x - 5} \cdot 2 + \sqrt{6 x - 5} \sqrt{6 x - 5}}{6} - \frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5})}{3} + \frac{3}{2}$

Schritt 4.2.3.3.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{6 x - 5}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{4 + 2 \sqrt{6 x - 5} + 2 \sqrt{6 x - 5} + \sqrt{6 x - 5} \sqrt{6 x - 5}}{6} - \frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5})}{3} + \frac{3}{2}$

Schritt 4.2.3.3.1.3

Multipliziere $\sqrt{6 x - 5} \sqrt{6 x - 5}$ .

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Schritt 4.2.3.3.1.3.1

Potenziere $\sqrt{6 x - 5}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{4 + 2 \sqrt{6 x - 5} + 2 \sqrt{6 x - 5} + \sqrt{6 x - 5} \sqrt{6 x - 5}}{6} - \frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5})}{3} + \frac{3}{2}$

Schritt 4.2.3.3.1.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{4 + 2 \sqrt{6 x - 5} + 2 \sqrt{6 x - 5} + {\sqrt{6 x - 5}}^{1 + 1}}{6} - \frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5})}{3} + \frac{3}{2}$

Schritt 4.2.3.3.1.3.3

Addiere $1$ und $1$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{4 + 2 \sqrt{6 x - 5} + 2 \sqrt{6 x - 5} + {\sqrt{6 x - 5}}^{2}}{6} - \frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5})}{3} + \frac{3}{2}$

Schritt 4.2.3.3.1.4

Schreibe ${\sqrt{6 x - 5}}^{2}$ als $6 x - 5$ um.

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Schritt 4.2.3.3.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6 x - 5}$ als ${(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{4 + 2 \sqrt{6 x - 5} + 2 \sqrt{6 x - 5} + {({(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6} - \frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5})}{3} + \frac{3}{2}$

Schritt 4.2.3.3.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{4 + 2 \sqrt{6 x - 5} + 2 \sqrt{6 x - 5} + {(6 x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6} - \frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5})}{3} + \frac{3}{2}$

Schritt 4.2.3.3.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{4 + 2 \sqrt{6 x - 5} + 2 \sqrt{6 x - 5} + {(6 x - 5)}^{\frac{2}{2}}}{6} - \frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5})}{3} + \frac{3}{2}$

Schritt 4.2.3.3.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.3.3.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{4 + 2 \sqrt{6 x - 5} + 2 \sqrt{6 x - 5} + {(6 x - 5)}^{\frac{2}{2}}}{6} - \frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5})}{3} + \frac{3}{2}$

Schritt 4.2.3.3.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{4 + 2 \sqrt{6 x - 5} + 2 \sqrt{6 x - 5} + 6 x - 5}{6} - \frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5})}{3} + \frac{3}{2}$

Schritt 4.2.3.3.1.4.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{4 + 2 \sqrt{6 x - 5} + 2 \sqrt{6 x - 5} + 6 x - 5}{6} - \frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5})}{3} + \frac{3}{2}$

Schritt 4.2.3.3.2

Subtrahiere $5$ von $4$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{- 1 + 2 \sqrt{6 x - 5} + 2 \sqrt{6 x - 5} + 6 x}{6} - \frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5})}{3} + \frac{3}{2}$

Schritt 4.2.3.3.3

Addiere $2 \sqrt{6 x - 5}$ und $2 \sqrt{6 x - 5}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{- 1 + 4 \sqrt{6 x - 5} + 6 x}{6} - \frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5})}{3} + \frac{3}{2}$

Schritt 4.2.4

Um $- \frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5})}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{- 1 + 4 \sqrt{6 x - 5} + 6 x}{6} - \frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5})}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}$

Schritt 4.2.5

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.2.5.1

Mutltipliziere $\frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5})}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{- 1 + 4 \sqrt{6 x - 5} + 6 x}{6} - \frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5}) \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{3}{2}$

Schritt 4.2.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{- 1 + 4 \sqrt{6 x - 5} + 6 x}{6} - \frac{2 (2 + \sqrt{6 x - 5}) \cdot 2}{6} + \frac{3}{2}$

Schritt 4.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{- 1 + 4 \sqrt{6 x - 5} + 6 x - 2 (2 + \sqrt{6 x - 5}) \cdot 2}{6} + \frac{3}{2}$

Schritt 4.2.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.7.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6 x - 5}$ als ${(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{- 1 + 4 {(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}} + 6 x - 2 (2 + \sqrt{6 x - 5}) \cdot 2}{6} + \frac{3}{2}$

Schritt 4.2.7.1.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6 x - 5}$ als ${(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{- 1 + 4 {(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}} + 6 x - 2 (2 + {(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{6} + \frac{3}{2}$

Schritt 4.2.7.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{- 1 + 4 {(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}} + 6 x + (- 2 \cdot 2 - 2 {(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{6} + \frac{3}{2}$

Schritt 4.2.7.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{- 1 + 4 {(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}} + 6 x + (- 4 - 2 {(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{6} + \frac{3}{2}$

Schritt 4.2.7.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{- 1 + 4 {(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}} + 6 x - 4 \cdot 2 - 2 {(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{6} + \frac{3}{2}$

Schritt 4.2.7.1.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{- 1 + 4 {(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}} + 6 x - 8 - 2 {(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{6} + \frac{3}{2}$

Schritt 4.2.7.1.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{- 1 + 4 {(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}} + 6 x - 8 - 4 {(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{3}{2}$

Schritt 4.2.7.1.8

Subtrahiere $8$ von $- 1$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{4 {(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}} + 6 x - 9 - 4 {(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{3}{2}$

Schritt 4.2.7.1.9

Subtrahiere $4 {(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ von $4 {(6 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{6 x - 9 + 0}{6} + \frac{3}{2}$

Schritt 4.2.7.1.10

Addiere $6 x - 9$ und $0$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{6 x - 9}{6} + \frac{3}{2}$

Schritt 4.2.7.1.11

Faktorisiere $3$ aus $6 x - 9$ heraus.

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Schritt 4.2.7.1.11.1

Faktorisiere $3$ aus $6 x$ heraus.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{3 (2 x) - 9}{6} + \frac{3}{2}$

Schritt 4.2.7.1.11.2

Faktorisiere $3$ aus $- 9$ heraus.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{3 (2 x) + 3 (- 3)}{6} + \frac{3}{2}$

Schritt 4.2.7.1.11.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (2 x) + 3 (- 3)$ heraus.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{3 (2 x - 3)}{6} + \frac{3}{2}$

Schritt 4.2.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.7.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{3 (2 x - 3)}{3 \cdot 2} + \frac{3}{2}$

Schritt 4.2.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{3 (2 x - 3)}{3 \cdot 2} + \frac{3}{2}$

Schritt 4.2.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{2 x - 3}{2} + \frac{3}{2}$

Schritt 4.2.8

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.2.8.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{2 x - 3 + 3}{2}$

Schritt 4.2.8.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x - 3 + 3$ .

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Schritt 4.2.8.2.1

Addiere $- 3$ und $3$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{2 x + 0}{2}$

Schritt 4.2.8.2.2

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 4.2.8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.8.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 4.2.8.3.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{6 x - 5}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}) = 2 + \sqrt{6 (\frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}) - 5}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}) = 2 + \sqrt{6 (\frac{x^{2}}{6}) + 6 (- \frac{2 x}{3}) + 6 (\frac{3}{2}) - 5}$

Schritt 4.3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 4.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 4.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}) = 2 + \sqrt{6 (\frac{x^{2}}{6}) + 6 (- \frac{2 x}{3}) + 6 (\frac{3}{2}) - 5}$

Schritt 4.3.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}) = 2 + \sqrt{x^{2} + 6 (- \frac{2 x}{3}) + 6 (\frac{3}{2}) - 5}$

Schritt 4.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.3.2.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2 x}{3}$ in den Zähler.

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}) = 2 + \sqrt{x^{2} + 6 (\frac{- 2 x}{3}) + 6 (\frac{3}{2}) - 5}$

Schritt 4.3.3.2.2.2

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}) = 2 + \sqrt{x^{2} + 3 (2) (\frac{- 2 x}{3}) + 6 (\frac{3}{2}) - 5}$

Schritt 4.3.3.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}) = 2 + \sqrt{x^{2} + 3 \cdot (2 (\frac{- 2 x}{3})) + 6 (\frac{3}{2}) - 5}$

Schritt 4.3.3.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}) = 2 + \sqrt{x^{2} + 2 (- 2 x) + 6 (\frac{3}{2}) - 5}$

Schritt 4.3.3.2.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}) = 2 + \sqrt{x^{2} - 4 x + 6 (\frac{3}{2}) - 5}$

Schritt 4.3.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.3.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}) = 2 + \sqrt{x^{2} - 4 x + 2 (3) (\frac{3}{2}) - 5}$

Schritt 4.3.3.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}) = 2 + \sqrt{x^{2} - 4 x + 2 \cdot (3 (\frac{3}{2})) - 5}$

Schritt 4.3.3.2.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}) = 2 + \sqrt{x^{2} - 4 x + 3 \cdot 3 - 5}$

Schritt 4.3.3.2.5

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}) = 2 + \sqrt{x^{2} - 4 x + 9 - 5}$

Schritt 4.3.3.3

Subtrahiere $5$ von $9$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}) = 2 + \sqrt{x^{2} - 4 x + 4}$

Schritt 4.3.3.4

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 4.3.3.4.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}) = 2 + \sqrt{x^{2} - 4 x + 2^{2}}$

Schritt 4.3.3.4.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Schritt 4.3.3.4.3

Schreibe das Polynom neu.

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}) = 2 + \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}}$

Schritt 4.3.3.4.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 2$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}) = 2 + \sqrt{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 4.3.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}) = 2 + x - 2$

Schritt 4.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 + x - 2$ .

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Schritt 4.3.4.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}) = x + 0$

Schritt 4.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 2 + \sqrt{6 x - 5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2}$