Trigonometrie Beispiele

$y = 1 + 2 \arctan (x)$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = 1 + 2 \arctan (y)$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $1 + 2 \arctan (y) = x$ um.

$1 + 2 \arctan (y) = x$

Schritt 2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \arctan (y) = x - 1$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $2 \arctan (y) = x - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \arctan (y) = x - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 \arctan (y)}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \arctan (y)}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $\arctan (y)$ durch $1$ .

$\arctan (y) = \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\arctan (y) = \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 2.4

Ziehe den inversen Arkustangens auf beiden Seiten der Gleichung, um $y$ aus dem Inneren des Arkustangens zu extrahieren.

$y = \tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 1 + 2 \arctan (x)$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x)) = \tan (\frac{1 + 2 \arctan (x)}{2} - \frac{1}{2})$

Schritt 4.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x)) = \tan (\frac{1 + 2 \arctan (x) - 1}{2})$

Schritt 4.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 + 2 \arctan (x) - 1$ .

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Schritt 4.2.4.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x)) = \tan (\frac{2 \arctan (x) + 0}{2})$

Schritt 4.2.4.2

Addiere $2 \arctan (x)$ und $0$ .

$f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x)) = \tan (\frac{2 \arctan (x)}{2})$

Schritt 4.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x)) = \tan (\frac{2 \arctan (x)}{2})$

Schritt 4.2.5.2

Dividiere $\arctan (x)$ durch $1$ .

$f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x)) = \tan (\arctan (x))$

Schritt 4.2.6

Die Funktionen Tangens und Arkustangens sind Inverse.

$f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x)) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2}))$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})) = 1 + 2 \arctan (\tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2}))$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 1 + 2 \arctan (x)$ .

$f^{- 1} (x) = \tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})$