Trigonometrie Beispiele

$y = - 3 x^{3}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = - 3 y^{3}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $- 3 y^{3} = x$ um.

$- 3 y^{3} = x$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 3 y^{3} = x$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 y^{3} = x$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 y^{3}}{- 3} = \frac{x}{- 3}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 y^{3}}{- 3} = \frac{x}{- 3}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $y^{3}$ durch $1$ .

$y^{3} = \frac{x}{- 3}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{3} = - \frac{x}{3}$

Schritt 2.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[3]{- \frac{x}{3}}$

Schritt 2.4

Vereinfache $\sqrt[3]{- \frac{x}{3}}$ .

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Schritt 2.4.1

Schreibe $- \frac{x}{3}$ als ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{x}{3}$ um.

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Schritt 2.4.1.1

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$y = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{x}{3}}$

Schritt 2.4.1.2

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$y = \sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{x}{3}}$

Schritt 2.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = {(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{x}{3}}$

Schritt 2.4.3

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$y = - \sqrt[3]{\frac{x}{3}}$

Schritt 2.4.4

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{x}{3}}$ als $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{3}}$ um.

$y = - \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{3}}$

Schritt 2.4.5

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{3}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$ .

$y = - (\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}})$

Schritt 2.4.6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.4.6.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{3}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{3}}^{2}}$

Schritt 2.4.6.2

Potenziere $\sqrt[3]{3}$ mit $1$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{1} {\sqrt[3]{3}}^{2}}$

Schritt 2.4.6.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{1 + 2}}$

Schritt 2.4.6.4

Addiere $1$ und $2$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{3}}$

Schritt 2.4.6.5

Schreibe ${\sqrt[3]{3}}^{3}$ als $3$ um.

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Schritt 2.4.6.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{3}$ als $3^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{(3^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 2.4.6.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 2.4.6.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 2.4.6.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.4.6.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 2.4.6.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{1}}$

Schritt 2.4.6.5.5

Berechne den Exponenten.

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3}$

Schritt 2.4.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.7.1

Schreibe ${\sqrt[3]{3}}^{2}$ als $\sqrt[3]{3^{2}}$ um.

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{3^{2}}}{3}$

Schritt 2.4.7.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{9}}{3}$

Schritt 2.4.8

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.4.8.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = - \frac{\sqrt[3]{x \cdot 9}}{3}$

Schritt 2.4.8.2

Stelle die Faktoren in $- \frac{\sqrt[3]{x \cdot 9}}{3}$ um.

$y = - \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = - 3 x^{3}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (- 3 x^{3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- 3 x^{3}) = - \frac{\sqrt[3]{9 (- 3 x^{3})}}{3}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $9$ .

$f^{- 1} (- 3 x^{3}) = - \frac{\sqrt[3]{- 27 x^{3}}}{3}$

Schritt 4.2.3.2

Schreibe $- 27 x^{3}$ als ${(- 3 x)}^{3}$ um.

$f^{- 1} (- 3 x^{3}) = - \frac{\sqrt[3]{{(- 3 x)}^{3}}}{3}$

Schritt 4.2.3.3

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} (- 3 x^{3}) = - \frac{- 3 x}{3}$

Schritt 4.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $3$ .

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Schritt 4.2.4.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x$ heraus.

$f^{- 1} (- 3 x^{3}) = - \frac{3 (- x)}{3}$

Schritt 4.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$f^{- 1} (- 3 x^{3}) = - \frac{3 (- x)}{3 (1)}$

Schritt 4.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- 3 x^{3}) = - \frac{3 (- x)}{3 \cdot 1}$

Schritt 4.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (- 3 x^{3}) = - \frac{- x}{1}$

Schritt 4.2.4.2.4

Dividiere $- x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (- 3 x^{3}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 3 {(- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3})}^{3}$

Schritt 4.3.3

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.3.3.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}$ an.

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 3 ({(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt[3]{9 x}}{3})}^{3})$

Schritt 4.3.3.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}$ an.

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 3 ({(- 1)}^{3} (\frac{{\sqrt[3]{9 x}}^{3}}{3^{3}}))$

Schritt 4.3.4

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 3 (- \frac{{\sqrt[3]{9 x}}^{3}}{3^{3}})$

Schritt 4.3.5

Schreibe ${\sqrt[3]{9 x}}^{3}$ als $9 x$ um.

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Schritt 4.3.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{9 x}$ als ${(9 x)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 3 (- \frac{{({(9 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{3^{3}})$

Schritt 4.3.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 3 (- \frac{{(9 x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{3^{3}})$

Schritt 4.3.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 3 (- \frac{{(9 x)}^{\frac{3}{3}}}{3^{3}})$

Schritt 4.3.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 3 (- \frac{{(9 x)}^{\frac{3}{3}}}{3^{3}})$

Schritt 4.3.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 3 (- \frac{9 x}{3^{3}})$

Schritt 4.3.5.5

Vereinfache.

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 3 (- \frac{9 x}{3^{3}})$

Schritt 4.3.6

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 3 (- \frac{9 x}{27})$

Schritt 4.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.7.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{9 x}{27}$ in den Zähler.

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 3 \frac{- 9 x}{27}$

Schritt 4.3.7.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = 3 (- 1) (\frac{- 9 x}{27})$

Schritt 4.3.7.3

Faktorisiere $3$ aus $27$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = 3 \cdot (- 1 \frac{- 9 x}{3 \cdot 9})$

Schritt 4.3.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = 3 \cdot (- 1 \frac{- 9 x}{3 \cdot 9})$

Schritt 4.3.7.5

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 1 \frac{- 9 x}{9}$

Schritt 4.3.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 9$ und $9$ .

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Schritt 4.3.8.1

Faktorisiere $9$ aus $- 9 x$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 1 \frac{9 (- x)}{9}$

Schritt 4.3.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.8.2.1

Faktorisiere $9$ aus $9$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 1 \frac{9 (- x)}{9 (1)}$

Schritt 4.3.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 1 \frac{9 (- x)}{9 \cdot 1}$

Schritt 4.3.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 1 \frac{- x}{1}$

Schritt 4.3.8.2.4

Dividiere $- x$ durch $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 1 (- x)$

Schritt 4.3.9

Multipliziere $- 1 (- x)$ .

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Schritt 4.3.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = 1 x$

Schritt 4.3.9.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = - 3 x^{3}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}$