Trigonometrie Beispiele

$y = 3 - \sqrt{x - 1}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = 3 - \sqrt{y - 1}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $3 - \sqrt{y - 1} = x$ um.

$3 - \sqrt{y - 1} = x$

Schritt 2.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \sqrt{y - 1} = x - 3$

Schritt 2.3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(- \sqrt{y - 1})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Schritt 2.4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y - 1}$ als ${(y - 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(- {(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache ${(- {(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- {(y - 1)}^{\frac{1}{2}}$ an.

${(- 1)}^{2} {({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Schritt 2.4.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 {({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Schritt 2.4.2.1.3

Mutltipliziere ${({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ mit $1$ .

${({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Schritt 2.4.2.1.4

Multipliziere die Exponenten in ${({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.4.2.1.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 3)}^{2}$

Schritt 2.4.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.2.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 3)}^{2}$

Schritt 2.4.2.1.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(y - 1)}^{1} = {(x - 3)}^{2}$

Schritt 2.4.2.1.5

Vereinfache.

$y - 1 = {(x - 3)}^{2}$

Schritt 2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.3.1

Vereinfache ${(x - 3)}^{2}$ .

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Schritt 2.4.3.1.1

Schreibe ${(x - 3)}^{2}$ als $(x - 3) (x - 3)$ um.

$y - 1 = (x - 3) (x - 3)$

Schritt 2.4.3.1.2

Multipliziere $(x - 3) (x - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.4.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 1 = x (x - 3) - 3 (x - 3)$

Schritt 2.4.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 1 = x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)$

Schritt 2.4.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 1 = x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3$

Schritt 2.4.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.4.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y - 1 = x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3$

Schritt 2.4.3.1.3.1.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x$ .

$y - 1 = x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3$

Schritt 2.4.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$y - 1 = x^{2} - 3 x - 3 x + 9$

Schritt 2.4.3.1.3.2

Subtrahiere $3 x$ von $- 3 x$ .

$y - 1 = x^{2} - 6 x + 9$

Schritt 2.5

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.5.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = x^{2} - 6 x + 9 + 1$

Schritt 2.5.2

Addiere $9$ und $1$ .

$y = x^{2} - 6 x + 10$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 6 x + 10$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = x^{2} - 6 x + 10$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 3 - \sqrt{x - 1}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = {(3 - \sqrt{x - 1})}^{2} - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

Schritt 4.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.1

Schreibe ${(3 - \sqrt{x - 1})}^{2}$ als $(3 - \sqrt{x - 1}) (3 - \sqrt{x - 1})$ um.

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = (3 - \sqrt{x - 1}) (3 - \sqrt{x - 1}) - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

Schritt 4.2.3.2

Multipliziere $(3 - \sqrt{x - 1}) (3 - \sqrt{x - 1})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 3 (3 - \sqrt{x - 1}) - \sqrt{x - 1} (3 - \sqrt{x - 1}) - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

Schritt 4.2.3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{x - 1}) - \sqrt{x - 1} (3 - \sqrt{x - 1}) - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

Schritt 4.2.3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{x - 1}) - \sqrt{x - 1} \cdot 3 - \sqrt{x - 1} (- \sqrt{x - 1}) - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

Schritt 4.2.3.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.2.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.3.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 9 + 3 (- \sqrt{x - 1}) - \sqrt{x - 1} \cdot 3 - \sqrt{x - 1} (- \sqrt{x - 1}) - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

Schritt 4.2.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 9 - 3 \sqrt{x - 1} - \sqrt{x - 1} \cdot 3 - \sqrt{x - 1} (- \sqrt{x - 1}) - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

Schritt 4.2.3.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 9 - 3 \sqrt{x - 1} - 3 \sqrt{x - 1} - \sqrt{x - 1} (- \sqrt{x - 1}) - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

Schritt 4.2.3.3.1.4

Multipliziere $- \sqrt{x - 1} (- \sqrt{x - 1})$ .

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Schritt 4.2.3.3.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 9 - 3 \sqrt{x - 1} - 3 \sqrt{x - 1} + 1 \sqrt{x - 1} \sqrt{x - 1} - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

Schritt 4.2.3.3.1.4.2

Mutltipliziere $\sqrt{x - 1}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 9 - 3 \sqrt{x - 1} - 3 \sqrt{x - 1} + \sqrt{x - 1} \sqrt{x - 1} - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

Schritt 4.2.3.3.1.4.3

Potenziere $\sqrt{x - 1}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 9 - 3 \sqrt{x - 1} - 3 \sqrt{x - 1} + \sqrt{x - 1} \sqrt{x - 1} - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

Schritt 4.2.3.3.1.4.4

Potenziere $\sqrt{x - 1}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 9 - 3 \sqrt{x - 1} - 3 \sqrt{x - 1} + \sqrt{x - 1} \sqrt{x - 1} - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

Schritt 4.2.3.3.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 9 - 3 \sqrt{x - 1} - 3 \sqrt{x - 1} + {\sqrt{x - 1}}^{1 + 1} - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

Schritt 4.2.3.3.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 9 - 3 \sqrt{x - 1} - 3 \sqrt{x - 1} + {\sqrt{x - 1}}^{2} - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

Schritt 4.2.3.3.1.5

Schreibe ${\sqrt{x - 1}}^{2}$ als $x - 1$ um.

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Schritt 4.2.3.3.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x - 1}$ als ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 9 - 3 \sqrt{x - 1} - 3 \sqrt{x - 1} + {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

Schritt 4.2.3.3.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 9 - 3 \sqrt{x - 1} - 3 \sqrt{x - 1} + {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

Schritt 4.2.3.3.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 9 - 3 \sqrt{x - 1} - 3 \sqrt{x - 1} + {(x - 1)}^{\frac{2}{2}} - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

Schritt 4.2.3.3.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.3.3.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 9 - 3 \sqrt{x - 1} - 3 \sqrt{x - 1} + {(x - 1)}^{\frac{2}{2}} - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

Schritt 4.2.3.3.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 9 - 3 \sqrt{x - 1} - 3 \sqrt{x - 1} + x - 1 - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

Schritt 4.2.3.3.1.5.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 9 - 3 \sqrt{x - 1} - 3 \sqrt{x - 1} + x - 1 - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

Schritt 4.2.3.3.2

Subtrahiere $1$ von $9$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 8 - 3 \sqrt{x - 1} - 3 \sqrt{x - 1} + x - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

Schritt 4.2.3.3.3

Subtrahiere $3 \sqrt{x - 1}$ von $- 3 \sqrt{x - 1}$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 8 - 6 \sqrt{x - 1} + x - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

Schritt 4.2.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 8 - 6 \sqrt{x - 1} + x - 6 \cdot 3 - 6 (- \sqrt{x - 1}) + 10$

Schritt 4.2.3.5

Mutltipliziere $- 6$ mit $3$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 8 - 6 \sqrt{x - 1} + x - 18 - 6 (- \sqrt{x - 1}) + 10$

Schritt 4.2.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 8 - 6 \sqrt{x - 1} + x - 18 + 6 \sqrt{x - 1} + 10$

Schritt 4.2.4

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 4.2.4.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $8 - 6 \sqrt{x - 1} + x - 18 + 6 \sqrt{x - 1} + 10$ .

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Schritt 4.2.4.1.1

Addiere $- 6 \sqrt{x - 1}$ und $6 \sqrt{x - 1}$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 8 + x - 18 + 0 + 10$

Schritt 4.2.4.1.2

Addiere $8 + x - 18$ und $0$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 8 + x - 18 + 10$

Schritt 4.2.4.2

Subtrahiere $18$ von $8$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = x - 10 + 10$

Schritt 4.2.4.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 10 + 10$ .

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Schritt 4.2.4.3.1

Addiere $- 10$ und $10$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = x + 0$

Schritt 4.2.4.3.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (x^{2} - 6 x + 10)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (x^{2} - 6 x + 10) = 3 - \sqrt{(x^{2} - 6 x + 10) - 1}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1

Subtrahiere $1$ von $10$ .

$f (x^{2} - 6 x + 10) = 3 - \sqrt{x^{2} - 6 x + 9}$

Schritt 4.3.3.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 4.3.3.2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$f (x^{2} - 6 x + 10) = 3 - \sqrt{x^{2} - 6 x + 3^{2}}$

Schritt 4.3.3.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Schritt 4.3.3.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$f (x^{2} - 6 x + 10) = 3 - \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}}$

Schritt 4.3.3.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 3$ .

$f (x^{2} - 6 x + 10) = 3 - \sqrt{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 4.3.3.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (x^{2} - 6 x + 10) = 3 - (x - 3)$

Schritt 4.3.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x^{2} - 6 x + 10) = 3 - x + 3$

Schritt 4.3.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$f (x^{2} - 6 x + 10) = 3 - x + 3$

Schritt 4.3.4

Addiere $3$ und $3$ .

$f (x^{2} - 6 x + 10) = - x + 6$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = x^{2} - 6 x + 10$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 3 - \sqrt{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 6 x + 10$