Trigonometrie Beispiele

$y = \sqrt{6 x - 1}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \sqrt{6 y - 1}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{6 y - 1} = x$ um.

$\sqrt{6 y - 1} = x$

Schritt 2.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{6 y - 1}}^{2} = x^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6 y - 1}$ als ${(6 y - 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(6 y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache ${({(6 y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(6 y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(6 y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(6 y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(6 y - 1)}^{1} = x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.2

Vereinfache.

$6 y - 1 = x^{2}$

Schritt 2.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.4.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$6 y = x^{2} + 1$

Schritt 2.4.2

Teile jeden Ausdruck in $6 y = x^{2} + 1$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $6 y = x^{2} + 1$ durch $6$ .

$\frac{6 y}{6} = \frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{6}$

Schritt 2.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 2.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 y}{6} = \frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{6}$

Schritt 2.4.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{6}$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{6}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{6}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sqrt{6 x - 1}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\sqrt{6 x - 1})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 1}) = \frac{{(\sqrt{6 x - 1})}^{2}}{6} + \frac{1}{6}$

Schritt 4.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 1}) = \frac{{(\sqrt{6 x - 1})}^{2} + 1}{6}$

Schritt 4.2.4

Schreibe ${\sqrt{6 x - 1}}^{2}$ als $6 x - 1$ um.

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Schritt 4.2.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6 x - 1}$ als ${(6 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 1}) = \frac{{({(6 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1}{6}$

Schritt 4.2.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 1}) = \frac{{(6 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1}{6}$

Schritt 4.2.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 1}) = \frac{{(6 x - 1)}^{\frac{2}{2}} + 1}{6}$

Schritt 4.2.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 1}) = \frac{{(6 x - 1)}^{\frac{2}{2}} + 1}{6}$

Schritt 4.2.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 1}) = \frac{(6 x - 1) + 1}{6}$

Schritt 4.2.4.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 1}) = \frac{6 x - 1 + 1}{6}$

Schritt 4.2.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.2.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $6 x - 1 + 1$ .

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Schritt 4.2.5.1.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 1}) = \frac{6 x + 0}{6}$

Schritt 4.2.5.1.2

Addiere $6 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 1}) = \frac{6 x}{6}$

Schritt 4.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 4.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 1}) = \frac{6 x}{6}$

Schritt 4.2.5.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 1}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{6})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{6}) = \sqrt{6 (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{6}) - 1}$

Schritt 4.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{6}) = \sqrt{6 (\frac{x^{2}}{6}) + 6 (\frac{1}{6}) - 1}$

Schritt 4.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 4.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{6}) = \sqrt{6 (\frac{x^{2}}{6}) + 6 (\frac{1}{6}) - 1}$

Schritt 4.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{6}) = \sqrt{x^{2} + 6 (\frac{1}{6}) - 1}$

Schritt 4.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 4.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{6}) = \sqrt{x^{2} + 6 (\frac{1}{6}) - 1}$

Schritt 4.3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{6}) = \sqrt{x^{2} + 1 - 1}$

Schritt 4.3.6

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 4.3.6.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{6}) = \sqrt{x^{2} + 0}$

Schritt 4.3.6.2

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{6}) = \sqrt{x^{2}}$

Schritt 4.3.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{6}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{6}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \sqrt{6 x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{6}$