Trigonometrie Beispiele

$y = \csc (3 x) - 1$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \csc (3 y) - 1$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\csc (3 y) - 1 = x$ um.

$\csc (3 y) - 1 = x$

Schritt 2.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\csc (3 y) = x + 1$

Schritt 2.3

Wende den inversen Kosekans auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Kosekans herauszuziehen.

$3 y = arccsc (x + 1)$

Schritt 2.4

Teile jeden Ausdruck in $3 y = arccsc (x + 1)$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y = arccsc (x + 1)$ durch $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{arccsc (x + 1)}{3}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} = \frac{arccsc (x + 1)}{3}$

Schritt 2.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{arccsc (x + 1)}{3}$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{arccsc (x + 1)}{3}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{arccsc (x + 1)}{3}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \csc (3 x) - 1$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\csc (3 x) - 1)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\csc (3 x) - 1) = \frac{arccsc ((\csc (3 x) - 1) + 1)}{3}$

Schritt 4.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\csc (3 x) - 1 + 1$ .

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Schritt 4.2.3.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f^{- 1} (\csc (3 x) - 1) = \frac{arccsc (\csc (3 x) + 0)}{3}$

Schritt 4.2.3.2

Addiere $\csc (3 x)$ und $0$ .

$f^{- 1} (\csc (3 x) - 1) = \frac{arccsc (\csc (3 x))}{3}$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{arccsc (x + 1)}{3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{arccsc (x + 1)}{3}) = \csc (3 (\frac{arccsc (x + 1)}{3})) - 1$

Schritt 4.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{arccsc (x + 1)}{3}) = \csc (3 (\frac{arccsc (x + 1)}{3})) - 1$

Schritt 4.3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{arccsc (x + 1)}{3}) = \csc (arccsc (x + 1)) - 1$

Schritt 4.3.3.2

Die Funktionen Kosekans und Arkuskosekans sind Umkehrfunktionen.

$f (\frac{arccsc (x + 1)}{3}) = x + 1 - 1$

Schritt 4.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 1 - 1$ .

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Schritt 4.3.4.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (\frac{arccsc (x + 1)}{3}) = x + 0$

Schritt 4.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{arccsc (x + 1)}{3}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{arccsc (x + 1)}{3}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \csc (3 x) - 1$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{arccsc (x + 1)}{3}$