Trigonometrie Beispiele

$y = \cos (x) + 1$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \cos (y) + 1$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\cos (y) + 1 = x$ um.

$\cos (y) + 1 = x$

Schritt 2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (y) = x - 1$

Schritt 2.3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$y = \arccos (x - 1)$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \arccos (x - 1)$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \arccos (x - 1)$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \cos (x) + 1$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\cos (x) + 1)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\cos (x) + 1) = \arccos ((\cos (x) + 1) - 1)$

Schritt 4.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $(\cos (x) + 1) - 1$ .

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Schritt 4.2.3.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f^{- 1} (\cos (x) + 1) = \arccos (\cos (x) + 0)$

Schritt 4.2.3.2

Addiere $\cos (x)$ und $0$ .

$f^{- 1} (\cos (x) + 1) = \arccos (\cos (x))$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\arccos (x - 1))$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\arccos (x - 1)) = \cos (\arccos (x - 1)) + 1$

Schritt 4.3.3

Die Funktionen Kosinus und Arkuskosinus sind Inverse.

$f (\arccos (x - 1)) = x - 1 + 1$

Schritt 4.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 1 + 1$ .

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Schritt 4.3.4.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f (\arccos (x - 1)) = x + 0$

Schritt 4.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\arccos (x - 1)) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \arccos (x - 1)$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \cos (x) + 1$ .

$f^{- 1} (x) = \arccos (x - 1)$