Trigonometrie Beispiele

$y = \arcsin (5 - 3 x^{2})$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \arcsin (5 - 3 y^{2})$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\arcsin (5 - 3 y^{2}) = x$ um.

$\arcsin (5 - 3 y^{2}) = x$

Schritt 2.2

Nimm den inversen Arcussinus von beiden Seiten der Gleichung, um $y$ aus dem Arcussinus zu ziehen.

$5 - 3 y^{2} = \sin (x)$

Schritt 2.3

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 y^{2} = \sin (x) - 5$

Schritt 2.4

Teile jeden Ausdruck in $- 3 y^{2} = \sin (x) - 5$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 y^{2} = \sin (x) - 5$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 y^{2}}{- 3} = \frac{\sin (x)}{- 3} + \frac{- 5}{- 3}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 y^{2}}{- 3} = \frac{\sin (x)}{- 3} + \frac{- 5}{- 3}$

Schritt 2.4.2.1.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{\sin (x)}{- 3} + \frac{- 5}{- 3}$

Schritt 2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{2} = - \frac{\sin (x)}{3} + \frac{- 5}{- 3}$

Schritt 2.4.3.1.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y^{2} = - \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}$

Schritt 2.5

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

Schritt 2.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

Schritt 2.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

Schritt 2.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

$y = - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

$y = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

$y = - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

$y = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

$y = - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}, - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}, - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \arcsin (5 - 3 x^{2})$ ist.

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Schritt 4.1

Der Definitionsbereich der Inversen (Umkehrfunktion) ist der Wertebereich der ursprünglichen Funktion und umgekehrt. Finde den Definitionsbereich und den Wertebereich von $f (x) = \arcsin (5 - 3 x^{2})$ und $f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}, - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$ und vergleiche sie.

Schritt 4.2

Finde den Wertebereich von $f (x) = \arcsin (5 - 3 x^{2})$ .

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Schritt 4.2.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$

Schritt 4.3

Bestimme den Definitionsbereich von $\sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$ .

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Schritt 4.3.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3} \geq 0$

Schritt 4.3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.2.1

Subtrahiere $\frac{5}{3}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- \frac{\sin (x)}{3} \geq - \frac{5}{3}$

Schritt 4.3.2.2

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$- \sin (x) \geq - 5$

Schritt 4.3.2.3

Teile jeden Ausdruck in $- \sin (x) \geq - 5$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.2.3.1

Teile jeden Term in $- \sin (x) \geq - 5$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- \sin (x)}{- 1} \leq \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 4.3.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\sin (x)}{1} \leq \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 4.3.2.3.2.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\sin (x) \leq \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 4.3.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.2.3.3.1

Dividiere $- 5$ durch $- 1$ .

$\sin (x) \leq 5$

Schritt 4.3.2.4

Der Wertebereich des Sinus ist $- 1 \leq y \leq 1$ . Da $5$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 4.3.3

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen.

$(- \infty, \infty)$

Schritt 4.4

Da die Definitionsbereich von $f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}, - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$ nicht gleich dem Wertebereich von $f (x) = \arcsin (5 - 3 x^{2})$ ist, ist $f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}, - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$ keine inverse Funktion von $f (x) = \arcsin (5 - 3 x^{2})$ .

Es gibt keine Inverse (Umkehrfunktion)

Schritt 5