Trigonometrie Beispiele

$y = \sin (\sqrt{x}) + 2$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \sin (\sqrt{y}) + 2$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\sin (\sqrt{y}) + 2 = x$ um.

$\sin (\sqrt{y}) + 2 = x$

Schritt 2.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sin (\sqrt{y}) = x - 2$

Schritt 2.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$\sqrt{y} = \arcsin (x - 2)$

Schritt 2.4

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{y}}^{2} = {\arcsin (x - 2)}^{2}$

Schritt 2.5

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\arcsin (x - 2)}^{2}$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.1

Vereinfache ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.5.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.5.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\arcsin (x - 2)}^{2}$

Schritt 2.5.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\arcsin (x - 2)}^{2}$

Schritt 2.5.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{1} = {\arcsin (x - 2)}^{2}$

Schritt 2.5.2.1.2

Vereinfache.

$y = {\arcsin (x - 2)}^{2}$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = {\arcsin (x - 2)}^{2}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = {\arcsin (x - 2)}^{2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sin (\sqrt{x}) + 2$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\sin (\sqrt{x}) + 2)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sin (\sqrt{x}) + 2) = {\arcsin ((\sin (\sqrt{x}) + 2) - 2)}^{2}$

Schritt 4.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $(\sin (\sqrt{x}) + 2) - 2$ .

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Schritt 4.2.3.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f^{- 1} (\sin (\sqrt{x}) + 2) = {\arcsin (\sin (\sqrt{x}) + 0)}^{2}$

Schritt 4.2.3.2

Addiere $\sin (\sqrt{x})$ und $0$ .

$f^{- 1} (\sin (\sqrt{x}) + 2) = {\arcsin (\sin (\sqrt{x}))}^{2}$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f ({\arcsin (x - 2)}^{2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f ({\arcsin (x - 2)}^{2}) = \sin (\sqrt{{\arcsin (x - 2)}^{2}}) + 2$

Schritt 4.3.3

Entferne die Klammern.

$f ({\arcsin (x - 2)}^{2}) = \sin (\sqrt{{\arcsin (x - 2)}^{2}}) + 2$

Schritt 4.3.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.4.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f ({\arcsin (x - 2)}^{2}) = \sin (\arcsin (x - 2)) + 2$

Schritt 4.3.4.2

Die Funktionen Sinus und Arkussinus sind Inverse.

$f ({\arcsin (x - 2)}^{2}) = x - 2 + 2$

Schritt 4.3.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 2 + 2$ .

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Schritt 4.3.5.1

Addiere $- 2$ und $2$ .

$f ({\arcsin (x - 2)}^{2}) = x + 0$

Schritt 4.3.5.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f ({\arcsin (x - 2)}^{2}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = {\arcsin (x - 2)}^{2}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \sin (\sqrt{x}) + 2$ .

$f^{- 1} (x) = {\arcsin (x - 2)}^{2}$