Trigonometrie Beispiele

$y - 1 = \tan^{2} (x)$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \tan^{2} (x) + 1$

Schritt 1.2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$y = \sec^{2} (x)$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \sec^{2} (y)$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\sec^{2} (y) = x$ um.

$\sec^{2} (y) = x$

Schritt 3.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sec (y) = \pm \sqrt{x}$

Schritt 3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\sec (y) = \sqrt{x}$

Schritt 3.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\sec (y) = - \sqrt{x}$

Schritt 3.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\sec (y) = \sqrt{x}, - \sqrt{x}$

Schritt 3.4

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $y$ aufzulösen.

$\sec (y) = \sqrt{x}$

$\sec (y) = - \sqrt{x}$

Schritt 3.5

Löse in $\sec (y) = \sqrt{x}$ nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Bilde den inversen Sekans von beiden Seiten der Gleichung, um $y$ aus dem Sekans zu ziehen.

$y = arcsec (\sqrt{x})$

Schritt 3.6

Löse in $\sec (y) = - \sqrt{x}$ nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1

Bilde den inversen Sekans von beiden Seiten der Gleichung, um $y$ aus dem Sekans zu ziehen.

$y = arcsec (- \sqrt{x})$

Schritt 3.7

Liste alle Lösungen auf.

$y = arcsec (\sqrt{x})$

$y = arcsec (- \sqrt{x})$

$y = arcsec (\sqrt{x})$

$y = arcsec (- \sqrt{x})$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{x}), arcsec (- \sqrt{x})$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{x}), arcsec (- \sqrt{x})$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sec^{2} (x)$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Der Definitionsbereich der Inversen (Umkehrfunktion) ist der Wertebereich der ursprünglichen Funktion und umgekehrt. Finde den Definitionsbereich und den Wertebereich von $f (x) = \sec^{2} (x)$ und $f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{x}), arcsec (- \sqrt{x})$ und vergleiche sie.

Schritt 5.2

Finde den Wertebereich von $f (x) = \sec^{2} (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$[1, \infty)$

Schritt 5.3

Bestimme den Definitionsbereich von $arcsec (\sqrt{x})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x \geq 0$

Schritt 5.3.2

Setze das Argument in $arcsec (\sqrt{x})$ kleiner oder gleich $- 1$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck definiert ist.

$\sqrt{x} \leq - 1$

Schritt 5.3.3

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

${\sqrt{x}}^{2} \leq {(- 1)}^{2}$

Schritt 5.3.3.2

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(- 1)}^{2}$

Schritt 5.3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.2.2.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(- 1)}^{2}$

Schritt 5.3.3.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(- 1)}^{2}$

Schritt 5.3.3.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} \leq {(- 1)}^{2}$

Schritt 5.3.3.2.2.1.2

Vereinfache.

$x \leq {(- 1)}^{2}$

Schritt 5.3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.2.3.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x \leq 1$

Schritt 5.3.3.3

Bestimme den Definitionsbereich von $\sqrt{x} + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.3.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x \geq 0$

Schritt 5.3.3.3.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[0, \infty)$

Schritt 5.3.3.4

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Schritt 5.3.3.5

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.5.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.5.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 5.3.3.5.1.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{- 2} \leq - 1$

Schritt 5.3.3.5.1.3

Die linke Seite ist nicht gleich der rechten Seite, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 5.3.3.5.2

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.5.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0.5$

Schritt 5.3.3.5.2.2

Ersetze $x$ durch $0.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{0.5} \leq - 1$

Schritt 5.3.3.5.2.3

Die linke Seite $0.70710678$ ist größer als die rechte Seite $- 1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 5.3.3.5.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.5.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 5.3.3.5.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{4} \leq - 1$

Schritt 5.3.3.5.3.3

Die linke Seite $2$ ist größer als die rechte Seite $- 1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 5.3.3.5.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 0$ Falsch

$0 < x < 1$ Falsch

$x > 1$ Falsch

$x < 0$ Falsch

$0 < x < 1$ Falsch

$x > 1$ Falsch

Schritt 5.3.3.6

Da es kein Zahlen gibt, die in das Intervall fallen, hat die Ungleichung keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 5.3.4

Setze das Argument in $arcsec (\sqrt{x})$ größer oder gleich $1$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck definiert ist.

$\sqrt{x} \geq 1$

Schritt 5.3.5

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.5.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

${\sqrt{x}}^{2} \geq 1^{2}$

Schritt 5.3.5.2

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.5.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 1^{2}$

Schritt 5.3.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.5.2.2.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.5.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.5.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 1^{2}$

Schritt 5.3.5.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.5.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 1^{2}$

Schritt 5.3.5.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} \geq 1^{2}$

Schritt 5.3.5.2.2.1.2

Vereinfache.

$x \geq 1^{2}$

Schritt 5.3.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.5.2.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x \geq 1$

Schritt 5.3.5.3

Bestimme den Definitionsbereich von $\sqrt{x} - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.5.3.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x \geq 0$

Schritt 5.3.5.3.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[0, \infty)$

Schritt 5.3.5.4

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \geq 1$

Schritt 5.3.6

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[0, \infty)$

Schritt 5.4

Da die Definitionsbereich von $f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{x}), arcsec (- \sqrt{x})$ nicht gleich dem Wertebereich von $f (x) = \sec^{2} (x)$ ist, ist $f^{- 1} (x) = arcsec (\sqrt{x}), arcsec (- \sqrt{x})$ keine inverse Funktion von $f (x) = \sec^{2} (x)$ .

Es gibt keine Inverse (Umkehrfunktion)

Schritt 6