Trigonometrie Beispiele

$- 1 \cdot \log_{5} (x - 4) > 0$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$- 1 \cdot \log_{5} (x - 4) = 0$

Schritt 2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 1 \cdot \log_{5} (x - 4) = 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.1.1

Teile jeden Ausdruck in $- 1 \cdot \log_{5} (x - 4) = 0$ durch $- 1$ .

$\frac{- 1 \cdot \log_{5} (x - 4)}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\log_{5} (x - 4)}{1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 2.1.2.2

Dividiere $\log_{5} (x - 4)$ durch $1$ .

$\log_{5} (x - 4) = \frac{0}{- 1}$

Schritt 2.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

$\log_{5} (x - 4) = 0$

Schritt 2.2

Schreibe $\log_{5} (x - 4) = 0$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$5^{0} = x - 4$

Schritt 2.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Schreibe die Gleichung als $x - 4 = 5^{0}$ um.

$x - 4 = 5^{0}$

Schritt 2.3.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x - 4 = 1$

Schritt 2.3.3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.3.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1 + 4$

Schritt 2.3.3.2

Addiere $1$ und $4$ .

$x = 5$

Schritt 3

Bestimme den Definitionsbereich von $- 1 \cdot \log_{5} (x - 4)$ .

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Schritt 3.1

Setze das Argument in $\log_{5} (x - 4)$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$x - 4 > 0$

Schritt 3.2

Addiere $4$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x > 4$

Schritt 3.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(4, \infty)$

Schritt 4

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 4$

$4 < x < 5$

$x > 5$

Schritt 5

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 5.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 5.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- 1 \cdot \log_{5} ((0) - 4) > 0$

Schritt 5.1.3

Bestimme, ob die Ungleichung erfüllt ist.

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Schritt 5.1.3.1

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da sie nicht definiert ist.

$Undefiniert$

Schritt 5.1.3.2

Die linke Seite hat keine Lösung, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 5.2

Teste einen Wert im Intervall $4 < x < 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $4 < x < 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4.5$

Schritt 5.2.2

Ersetze $x$ durch $4.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- 1 \cdot \log_{5} ((4.5) - 4) > 0$

Schritt 5.2.3

Die linke Seite $0.43067655$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 5.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 8$

Schritt 5.3.2

Ersetze $x$ durch $8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- 1 \cdot \log_{5} ((8) - 4) > 0$

Schritt 5.3.3

Die linke Seite $- 0.86135311$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 5.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 4$ Falsch

$4 < x < 5$ Wahr

$x > 5$ Falsch

$x < 4$ Falsch

$4 < x < 5$ Wahr

$x > 5$ Falsch

Schritt 6

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$4 < x < 5$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$4 < x < 5$

Intervallschreibweise:

$(4, 5)$

Schritt 8