Trigonometrie Beispiele

$\log_{8} (x^{2} - x) > \log_{8} (42)$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$\log_{8} (x^{2} - x) = \log_{8} (42)$

Schritt 2

Löse die Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$x^{2} - x = 42$

Schritt 2.2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Subtrahiere $42$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - x - 42 = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $x^{2} - x - 42$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 42$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 7, 6$

Schritt 2.2.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 7) (x + 6) = 0$

Schritt 2.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

$x + 6 = 0$

Schritt 2.2.4

Setze $x - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.4.1

Setze $x - 7$ gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

Schritt 2.2.4.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 7$

Schritt 2.2.5

Setze $x + 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.1

Setze $x + 6$ gleich $0$ .

$x + 6 = 0$

Schritt 2.2.5.2

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 6$

Schritt 2.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 7) (x + 6) = 0$ wahr machen.

$x = 7, - 6$

Schritt 3

Bestimme den Definitionsbereich von $\log_{8} (\frac{x (x - 1)}{42})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Setze das Argument in $\log_{8} (\frac{x (x - 1)}{42})$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$\frac{x (x - 1)}{42} > 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Multipliziere beide Seiten mit $42$ .

$\frac{x (x - 1)}{42} \cdot 42 > 0 \cdot 42$

Schritt 3.2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.1

Vereinfache $\frac{x (x - 1)}{42} \cdot 42$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.1.1

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $42$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (x - 1)}{42} \cdot 42 > 0 \cdot 42$

Schritt 3.2.2.1.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x (x - 1) > 0 \cdot 42$

Schritt 3.2.2.1.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot - 1 > 0 \cdot 42$

Schritt 3.2.2.1.1.1.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.1.1.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 > 0 \cdot 42$

Schritt 3.2.2.1.1.1.3.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x > 0 \cdot 42$

Schritt 3.2.2.1.1.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$x^{2} - x > 0 \cdot 42$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $42$ .

$x^{2} - x > 0$

Schritt 3.2.3

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.3.1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x^{2} - x = 0$

Schritt 3.2.3.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$x \cdot x - x = 0$

Schritt 3.2.3.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- x$ heraus.

$x \cdot x + x \cdot - 1 = 0$

Schritt 3.2.3.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot - 1$ heraus.

$x (x - 1) = 0$

Schritt 3.2.3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 3.2.3.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.2.3.5

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.3.5.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 3.2.3.5.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 3.2.3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 1$

Schritt 3.2.4

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Schritt 3.2.5

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.5.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.5.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 3.2.5.1.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(- 2) ((- 2) - 1)}{42} > 0$

Schritt 3.2.5.1.3

Die linke Seite $0.\overline{142857}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 3.2.5.2

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.5.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0.5$

Schritt 3.2.5.2.2

Ersetze $x$ durch $0.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(0.5) ((0.5) - 1)}{42} > 0$

Schritt 3.2.5.2.3

Die linke Seite $- 0.00595238$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 3.2.5.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.5.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 3.2.5.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(4) ((4) - 1)}{42} > 0$

Schritt 3.2.5.3.3

Die linke Seite $0.\overline{285714}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 3.2.5.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 0$ Wahr

$0 < x < 1$ Falsch

$x > 1$ Wahr

$x < 0$ Wahr

$0 < x < 1$ Falsch

$x > 1$ Wahr

Schritt 3.2.6

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < 0$ oder $x > 1$

Schritt 3.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (1, \infty)$

Schritt 4

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 6$

$- 6 < x < 0$

$0 < x < 1$

$1 < x < 7$

$x > 7$

Schritt 5

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 8$

Schritt 5.1.2

Ersetze $x$ durch $- 8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log_{8} ({(- 8)}^{2} - (- 8)) > \log_{8} (42)$

Schritt 5.1.3

Die linke Seite $2.05664166$ ist größer als die rechte Seite $1.79743914$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 5.2

Teste einen Wert im Intervall $- 6 < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 6 < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 3$

Schritt 5.2.2

Ersetze $x$ durch $- 3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log_{8} ({(- 3)}^{2} - (- 3)) > \log_{8} (42)$

Schritt 5.2.3

Die linke Seite $1.1949875$ ist nicht größer als die rechte Seite $1.79743914$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 5.3

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0.5$

Schritt 5.3.2

Ersetze $x$ durch $0.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log_{8} ({(0.5)}^{2} - (0.5)) > \log_{8} (42)$

Schritt 5.3.3

Bestimme, ob die Ungleichung erfüllt ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da sie nicht definiert ist.

$Undefiniert$

Schritt 5.3.3.2

Die linke Seite hat keine Lösung, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 5.4

Teste einen Wert im Intervall $1 < x < 7$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $1 < x < 7$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 5.4.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log_{8} ({(4)}^{2} - (4)) > \log_{8} (42)$

Schritt 5.4.3

Die linke Seite $1.1949875$ ist nicht größer als die rechte Seite $1.79743914$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 5.5

Teste einen Wert im Intervall $x > 7$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 7$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 10$

Schritt 5.5.2

Ersetze $x$ durch $10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log_{8} ({(10)}^{2} - (10)) > \log_{8} (42)$

Schritt 5.5.3

Die linke Seite $2.16395103$ ist größer als die rechte Seite $1.79743914$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 5.6

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 6$ Wahr

$- 6 < x < 0$ Falsch

$0 < x < 1$ Falsch

$1 < x < 7$ Falsch

$x > 7$ Wahr

$x < - 6$ Wahr

$- 6 < x < 0$ Falsch

$0 < x < 1$ Falsch

$1 < x < 7$ Falsch

$x > 7$ Wahr

Schritt 6

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - 6$ oder $x > 7$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x < - 6 or x > 7$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 6) \cup (7, \infty)$

Schritt 8