Trigonometrie Beispiele

$\frac{a + b}{2} = \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}}$

Schritt 1

Da die Wurzel auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass sie sich auf der linken Seite der Gleichung befindet.

$\sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}} = \frac{a + b}{2}$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}}}^{2} = {(\frac{a + b}{2})}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}}$ als ${(\frac{a^{2} + b^{2}}{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(\frac{a^{2} + b^{2}}{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{a + b}{2})}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(\frac{a^{2} + b^{2}}{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(\frac{a^{2} + b^{2}}{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{a^{2} + b^{2}}{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{a + b}{2})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(\frac{a^{2} + b^{2}}{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{a + b}{2})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(\frac{a^{2} + b^{2}}{2})}^{1} = {(\frac{a + b}{2})}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$\frac{a^{2} + b^{2}}{2} = {(\frac{a + b}{2})}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(\frac{a + b}{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{a + b}{2}$ an.

$\frac{a^{2} + b^{2}}{2} = \frac{{(a + b)}^{2}}{2^{2}}$

Schritt 3.3.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{a^{2} + b^{2}}{2} = \frac{{(a + b)}^{2}}{4}$

Schritt 4

Löse nach $a$ auf.

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Schritt 4.1

Multipliziere beide Seiten mit $2$ .

$\frac{a^{2} + b^{2}}{2} \cdot 2 = \frac{{(a + b)}^{2}}{4} \cdot 2$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a^{2} + b^{2}}{2} \cdot 2 = \frac{{(a + b)}^{2}}{4} \cdot 2$

Schritt 4.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$a^{2} + b^{2} = \frac{{(a + b)}^{2}}{4} \cdot 2$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$a^{2} + b^{2} = \frac{{(a + b)}^{2}}{2 (2)} \cdot 2$

Schritt 4.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a^{2} + b^{2} = \frac{{(a + b)}^{2}}{2 \cdot 2} \cdot 2$

Schritt 4.2.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$a^{2} + b^{2} = \frac{{(a + b)}^{2}}{2}$

Schritt 4.3

Löse nach $a$ auf.

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Schritt 4.3.1

Multipliziere beide Seiten mit $2$ .

$(a^{2} + b^{2}) \cdot 2 = \frac{{(a + b)}^{2}}{2} \cdot 2$

Schritt 4.3.2

Vereinfache.

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Schritt 4.3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.1.1

Vereinfache $(a^{2} + b^{2}) \cdot 2$ .

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Schritt 4.3.2.1.1.1

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 4.3.2.1.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$a^{2} \cdot 2 + b^{2} \cdot 2 = \frac{{(a + b)}^{2}}{2} \cdot 2$

Schritt 4.3.2.1.1.1.2

Stelle um.

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Schritt 4.3.2.1.1.1.2.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $a^{2}$ .

$2 \cdot a^{2} + b^{2} \cdot 2 = \frac{{(a + b)}^{2}}{2} \cdot 2$

Schritt 4.3.2.1.1.1.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $b^{2}$ .

$2 \cdot a^{2} + 2 \cdot b^{2} = \frac{{(a + b)}^{2}}{2} \cdot 2$

Schritt 4.3.2.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $b^{2}$ .

$2 a^{2} + 2 b^{2} = \frac{{(a + b)}^{2}}{2} \cdot 2$

Schritt 4.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 a^{2} + 2 b^{2} = \frac{{(a + b)}^{2}}{2} \cdot 2$

Schritt 4.3.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 a^{2} + 2 b^{2} = {(a + b)}^{2}$

Schritt 4.3.3

Löse nach $a$ auf.

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Schritt 4.3.3.1

Vereinfache ${(a + b)}^{2}$ .

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Schritt 4.3.3.1.1

Forme um.

$2 a^{2} + 2 b^{2} = 0 + 0 + {(a + b)}^{2}$

Schritt 4.3.3.1.2

Schreibe ${(a + b)}^{2}$ als $(a + b) (a + b)$ um.

$2 a^{2} + 2 b^{2} = (a + b) (a + b)$

Schritt 4.3.3.1.3

Multipliziere $(a + b) (a + b)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.3.3.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 a^{2} + 2 b^{2} = a (a + b) + b (a + b)$

Schritt 4.3.3.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 a^{2} + 2 b^{2} = a \cdot a + a b + b (a + b)$

Schritt 4.3.3.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 a^{2} + 2 b^{2} = a \cdot a + a b + b a + b \cdot b$

Schritt 4.3.3.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.3.3.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1.4.1.1

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$2 a^{2} + 2 b^{2} = a^{2} + a b + b a + b \cdot b$

Schritt 4.3.3.1.4.1.2

Mutltipliziere $b$ mit $b$ .

$2 a^{2} + 2 b^{2} = a^{2} + a b + b a + b^{2}$

Schritt 4.3.3.1.4.2

Addiere $a b$ und $b a$ .

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Schritt 4.3.3.1.4.2.1

Stelle $b$ und $a$ um.

$2 a^{2} + 2 b^{2} = a^{2} + a b + a b + b^{2}$

Schritt 4.3.3.1.4.2.2

Addiere $a b$ und $a b$ .

$2 a^{2} + 2 b^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

Schritt 4.3.3.2

Da $a$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$a^{2} + 2 a b + b^{2} = 2 a^{2} + 2 b^{2}$

Schritt 4.3.3.3

Bringe alle Terme, die $a$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.3.3.1

Subtrahiere $2 a^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$a^{2} + 2 a b + b^{2} - 2 a^{2} = 2 b^{2}$

Schritt 4.3.3.3.2

Subtrahiere $2 a^{2}$ von $a^{2}$ .

$- a^{2} + 2 a b + b^{2} = 2 b^{2}$

Schritt 4.3.3.4

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 4.3.3.4.1

Subtrahiere $2 b^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- a^{2} + 2 a b + b^{2} - 2 b^{2} = 0$

Schritt 4.3.3.4.2

Subtrahiere $2 b^{2}$ von $b^{2}$ .

$- a^{2} + 2 a b - b^{2} = 0$

Schritt 4.3.3.5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.3.3.6

Setze die Werte $a = - 1$ , $b = 2 b$ und $c = - b^{2}$ in die Quadratformel ein und löse nach $a$ auf.

$\frac{- 2 b \pm \sqrt{{(2 b)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot (- b^{2}))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.3.3.7

Vereinfache.

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Schritt 4.3.3.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.3.7.1.1

Schreibe $- 4 \cdot - 1 b^{2}$ als ${(2 b)}^{2}$ um.

$a = \frac{- 2 b \pm \sqrt{{(2 b)}^{2} - {(2 b)}^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.3.3.7.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2 b$ und $b = 2 b$ .

$a = \frac{- 2 b \pm \sqrt{(2 b + 2 b) (2 b - (2 b))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.3.3.7.1.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.3.7.1.3.1

Addiere $2 b$ und $2 b$ .

$a = \frac{- 2 b \pm \sqrt{4 b (2 b - (2 b))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.3.3.7.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$a = \frac{- 2 b \pm \sqrt{4 b (2 b - 2 b)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.3.3.7.1.4

Subtrahiere $2 b$ von $2 b$ .

$a = \frac{- 2 b \pm \sqrt{4 b \cdot 0}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.3.3.7.1.5

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 4.3.3.7.1.5.1

Mutltipliziere $0$ mit $4$ .

$a = \frac{- 2 b \pm \sqrt{0 b}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.3.3.7.1.5.2

Mutltipliziere $0$ mit $b$ .

$a = \frac{- 2 b \pm \sqrt{0}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.3.3.7.1.6

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$a = \frac{- 2 b \pm \sqrt{0^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.3.3.7.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$a = \frac{- 2 b \pm 0}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.3.3.7.1.8

$- 2 b$ plus or minus $0$ is $- 2 b$ .

$a = \frac{- 2 b}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.3.3.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$a = \frac{- 2 b}{- 2}$

Schritt 4.3.3.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 4.3.3.7.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a = \frac{- 2 b}{- 2}$

Schritt 4.3.3.7.3.2

Dividiere $b$ durch $1$ .

$a = b$

Schritt 4.3.3.8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$a = b$ doppelte Wurzeln